8基于卡尔曼滤波的最大似然参数估计(2)

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1、国防科学技术大学航天与材料工程学院2011-11-5基于卡尔曼滤波的极大似然估计一、输出误差法二、方程误差法三、最大似然递推算法四、最大似然近似算法五、修正最大似然准则非线性系统若初值准确，即初始方差为0；又若系统过程噪声很小，可忽略不计，此时协方差矩阵的解为零，Kalman增益矩阵也为0，即状态预估值就是状态本身，于是新息等于输出误差：一、输出误差法进而有准则函数：上式相当于以测量噪声的协方差矩阵的逆为权的加权最小二乘估计，称之为输出误差法。当测量噪声的特性已知，直接采用牛顿－拉夫逊算法，即可对参数进行估计。当仪器的测量噪声不随时间变化，则准则函数变为：当测量噪声的统计特性未知时，常

2、取J对Rv的导数为0，可求出测量噪声方差的最优估计：对如下系统：系统噪声通过状态方程影响观测量，观测量中同时包含了观测噪声与系统噪声的贡献。二、方程误差法如果观测噪声与系统噪声相比较，可以忽略不计，这时新息表达式成了测量值和状态变化量预估值之间的误差。新息矩阵就是系统噪声的方差矩阵。如果统计特性已知，准则函数为：这种情况的最大似然法称为方程误差法。相当于的加权最小二乘法。若系统是线性系统，且已知过程噪声的统计特性，则方程误差法不用进行迭代计算，直接求解线性代数方程组即可得辨识参数。假设线性系统如下：设A、B矩阵元素为待辨识参数，定义：则：指标函数可以写为：为观测量。可以推出的最优估计满

3、足必要条件：于是有：求解上述方程组，即可确定待辨识参数。递推算法逐点进行数据处理，观测数据每采样一次，就利用新观测信息更新一次参数估计值，不断提高参数估计的准度。根据该特点，递推最大似然方法可以作为一种在线估计方法。三、最大似然递推算法递推最大似然估计的思路：将j时刻准则函数J(j)表示成j-1时刻的准则函数和j时刻新息的形式；对J(j)在处展开，并略去二阶以上项，于是得到使J(j)达到极小的必要条件；利用必要条件及准则函数的性质可得递推公式。将指标函数表示成如下递推形式：将上式在处展开，则有：其中：进一步，将上式配方为：上式各项都在的条件下取值，d是的二次型函数，与无关。故要使J(j

4、)极小的必要条件是，即有：由信息矩阵公式：结合准则函数：可得：由矩阵求逆公式：则有：其中：于是可得最大似然算法的递推公式：与Kalman滤波公式比较，相当于将观测噪声中的hT变换成了。考虑观测噪声与过程噪声的最大似然法，其计算都很复杂，每次迭代计算需要计算大量数据，而且协方差在计算过程中还常会出现不收敛的情况，故在实际应用中常作不同程度的简化。四、最大似然近似算法（1）信息矩阵B与增益矩阵K的简化将似然函数对B求极值，可得B的最优估计：取B为此常值，则可以简化准则函数的求导运算：对于增益阵K，定义：式中表示除l，m位置的元素为1外，其它都为0。这种简化在已知噪声特性时可能会出现矛盾的结

5、果。（2）稳态线性系统的近似算法常系数线性动力学系统的过程噪声和测量噪声的统计特性变化不大时，可假定系统在运行一段时间后趋于稳态状态，其卡尔曼滤波器的增益、新息协方差矩阵和状态协方差矩阵都是常数，从而进一步简化最大似然算法。最大似然法所取的似然函数是给定参数条件下观测量出现的条件概率。若将似然函数取为观测量和待估计参数出现的联合概率，则称为修正最大似然法。五、修正最大似然准则其对应的指标函数如下：由上式可见，修正最大似然估计是比最大似然估计更为广泛的一种估计，而最大似然估计是一种特殊情况。与最大似然估计比较可见，修正最大似然估计的要点在于引进参数的先验知识。若没有先验知识，很大，趋于零

6、，修正最大似然法就成了最大似然法。若的先验知识比较可靠，较小，则后面一项就起作用。对于测量误差很大的试验，其数据的很大，则前面一项的作用减弱，辨识出的将靠近于。习题：8-7，8-8谢谢！