分形几何及其在岩土工程中的应用

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1、分形理论及其在岩土工程中的应用——《分形几何》课程论文学院：专业：指导老师：姓名：学号：联系方式：2010年12月分形理论及其在岩土工程中的应用1引言5欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等,它们所描述的几何对象是规则和光滑的。而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管、烧结过程中形成的各种尺寸的聚积

2、团等等。面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。近30年来，科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。于是在变换与

3、迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。2分形理论的创始和发展[1]“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家曼德尔布罗特(BenoitB.mandelbrot)教授在1975年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不规则的，破碎的”。我们通常以曼德尔布罗特发表在1967年《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长·统计自

4、相似性与分数维数”一文作为“分形”学科诞生的标志。分形理论的发展大致可分为三个阶段：第一阶段为1875年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1872年，维尔斯特拉斯(Weieratrass)证明了一种连续函数———维尔斯特拉斯函数在任意一点均不具有有限或无限导数。同年，康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集，被称为康托尔三分集。1890年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入

5、。1904年科切(Koch)通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线——科切曲线(图1.1)，并且讨论了该曲线的性质。图1.1Koch)曲线波瑞（Perrin）在1913年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年促使维纳(Wiener)5建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”一词。由于非常“复杂”的几何的引入，长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可

6、夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。贝希柯维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何

7、性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干维数，庞德泽金(Pon-trjagin)与史尼雷尔曼（Schnirelman）于1932年引入了覆盖维数，柯尔莫哥洛夫（Kolmo-gorov）与季霍米洛夫(V.Tikhomirov)于1959年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性，从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，应用了相应的理论方

8、法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。正是在这种形势下，曼德尔布罗特以其独特的思想,自20世纪60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等