第九章section4酉空间

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1、§4酉空间一、酉空间的定义与性质[酉空间与欧氏空间]设V为一个复数域F上的线性空间，若在V中定义了两个矢量的内积（数量积），记作（），且满足：(i)（）=（），其中（）是（）的共轭复数；(ii)（），等号当且仅当时成立；(iii)，对任意成立；则称V为一酉（U）空间，又称为内积空间.若F是实数域，这时内积是可交换的.有限维实酉空间称为欧氏空间.例n维线性空间中，若规定式中　　　　　　　　　则是一个酉空间.酉空间Ｖ中的内积具有性质：1o（）＝2o3o一般，则　　　　　　　　　4o[模(范数)]由于，所以是实

2、的.令　　　　　　　　　称它为酉空间Ｖ中矢量的模或范数.模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.设α，β为酉空间的矢量，c为一复数，则1o2o（柯西-施瓦兹不等式）等号当且仅当α和β线性相关时成立.3o这些性质与空间的维数无关.[正交与标准正交基]酉空间V中，若，则称矢量α正交于β.显然，若α正交于β，则β也正交于α.酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组.若这矢量组又生成整个空间V，则称它为V的标准正交基.设{}为酉空间V的一组标准正交矢量，，则1o

3、（贝塞耳不等式）2o正交于3o当V是有限维空间时，{}成为V的基底的充分必要条件是：任一个矢量可表示为且[子空间的正交补空间]设V为复数域上的酉空间，S为V的一个子空间，若(i)(ii)对和有则称T为S的正交补空间.由(i)立刻可知（空集）.若S是一个有限维酉空间的一个子空间，则中有一个子空间T为S的正交补空间.一、酉空间上的特殊线性变换[共轭变换]对域F上酉空间V上的一个线性变换L，由关系式所定义的变换是线性变换,称为L的共轭变换.若，则称L为正规变换.共轭变换有以下性质：1o2o3o4o5o若L是非奇

4、异线性变换，则也是非奇异线性变换，并且6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A，则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵.[自共轭变换（埃尔米特变换）]若，则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.自共轭变换有以下性质：1o若L，M为自共轭变换，则也是自共轭变换.当L，M可交换时，LM也是自共轭变换.2o在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵.反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.3o自共轭变换的特征值是实的.4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵，

5、其主对角线上的元素是L的全部特征值.[酉变换]若对酉空间V中的任意，有线性变换L，使则称L为酉变换.酉变换有以下性质：1o恒等变换为酉变换.2o若L，M为酉变换，则LM也为酉变换.3o若L为酉变换，则也为酉变换.4oL为酉变换的充分必要条件是：或5o在标准正交基下，酉变换L的矩阵是酉矩阵.反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉变换.6o酉变换的特征值的绝对值都是1.一、射影[射影及其性质]对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若，则这种变换P称为V沿T在S上的射影

6、.射影有以下性质：1o若P是一个射影，则因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.2o若是线性空间V分别沿在上和沿在上的射影，则(i)是一个射影，当且仅当若时，则，并且是沿在上的射影.(ii)若，则P是沿在上的射影.3o设T，S为有限维线性空间的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式：式中A是k阶方阵.[正射影]设S，T为复数域上一酉空间V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.[自共轭变换的分解]设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换.令为L的不同

7、特征值，令为使的矢量α的集合，则是V的子空间.显然对，和是V的正交补空间.若{}是Si的一个标准正交基，其中是的维数，则由一切这些所组成的集{}是V的一个标准正交基.最后使Pi为V在Si上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：=式中表示阶单位矩阵.另一方面，关于这个基底射影Pi的矩阵为式中表示阶的零矩阵.因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.一、酉空间中的度量在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α的模（范数）.酉空间中两“点”（即矢量）α，β的距离与任二矢量α，β之间的角度的定义如下：

8、由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件.若V是一个实酉空间，则对一切，角度必须是实的.