第十八章 无约束最优化的梯度方法

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1、第十八章无约束最优化的梯度方法,目的是在找一点称为此无约束最优化问题的全局最优点。然而在实际中，大多数最优化方法只能求到局部最优点，即在中可找到一点使得在的某个邻域中有。但在实际中，可以根据问题的意义来判断求得的局部极小点是否为全局最优点，无约束最优化可以分为两大类:一类是使用导数的方法，也就是根据目标函数的梯度（一阶导数）有时还要根据hesse矩阵（即二阶导数）所提供的信息而构造出来的方法，称为梯度方法。如：最速下降法，Newton法，共轭梯度法和变尺度法。另一类是不使用导数的方法，统称为直接方法。前者收敛速度快，但计算复杂（一阶，二阶导数）后者不用导数，适应性强，但收敛速度慢。

2、因此在可以求得目标函数导数信息时，尽可能用前一方法，而若求目标函数导数很困难，或者根本不存在导数时，就用后一种方法。18.1最速下降法最速下降法是求多元函数极值的最古老的数值算法，它直观，简单，计算方便，而且后来的一些新的有效的方法大多数是对它的改进，或受它的启发而得到的。其缺点是收敛速度较慢。18.1.1算法思路假定我们已经迭代到第K次，即已有，从出发进一步迭代。(图18.1.1)显然应沿下降方向进行，而下降最快的方向是，为使目标函数沿此方向下降的最多，沿此方向进行直线搜索，从而得到第k+1次迭代点，即。其中步长因子满足。按我们以前的记号，上面两式可记为：（18.1.1）当给定初

3、始点（可任选），就可产生一个序列。在满足一定条件时，此序列必收敛于的极小点。称以（18.1.1）为迭代公式的算法为最速下降法。414以后为方便，记：18.1.2算法过程已知目标函数及其梯度，给定终止准则H及终止限1）选定初始点，计算2）做直线搜索3）判定终止准则H是否满足，若满足则打印最优解，终止。否则转2）。将最速下降法用于具有对称正定矩阵Q的二次函数：而此处即为：，其中即：,从而：因此：18.1.3锯齿现象最速下降法在两个相邻点之间的搜索方向对于正定二次函数是正交的，因而最速下降法向最小点逼近是曲折前进的。这种现象称为锯齿现象。除最特殊的目标函数和极特殊的初始点外，这种现象都会

4、发生。这是因为最速下降法的下一步搜索方向是，从而知：。图18.1.2这说明其前后两个搜索方向总是垂直的，这就造成了最优步长的最速下降法逼近极小点过程是“之”字形，并且越靠近极小点步长越小，移动越慢，以至在实际运用中在可行的计算时间内得不到需要的结果。414这似乎与“最速下降”的名称矛盾。其实不然，因为梯度是函数局部性质，从局部看，函数在这一点附近下降的很快，然而从整体看，则走过了许多弯路。因此反而是不好的。为了清除最优步长最速下降法中两个搜索方向正交的不良后果，人们发明了不少方法，如：（1）选择不同初始点。例如：对问题：取初点，为求，沿方向从出发求的极点，即在线搜索代入函数式，则解

5、得，然后再从开始迭代，经过10次迭代，近似得最优解计算中可以发现，开始几次迭代，步长比较大，函数值下将降较快但当接近最优点时，步长很小，目标函数值下降很慢。如果不取初点为而取虽然后一初点较前一初点离最优点远，但迭代中不含上面出现的锯齿现象。这时：一步就得到了极小点。可见：造成距齿现象与初始点的选择有关，但怎样选一个初始点也是一件困难的事。（2）采用不精确的一维搜索。用一维搜索求出的步长为时，我们不取，而用的一个近似值作为如取=0.9。这样可使相邻两个迭代点处的梯度不正交，从而改变收敛性。对于最速下降法，有时为了减少计算工作量，不采用直线搜索确定步长，而采用固定步长λ的方法，称为固定

6、步长最速下降法。只要λ充分小，总有：但λ到底取多大，没有统一的标准，λ取小了，收敛太慢，而λ取大了，又会漏掉极小点。18.1.4用于二次函数时的收敛速度定理18.1.1对于二次函数Q为对称正定，分别为其最小最大特征值，从任意初点出发，对此二次函数，用最速下降法产生的序列414，对于有：并且由于而的极小点恰好是。故最速下降法对于二次函数关于任意初点均收敛，而且是线性收敛的。下面说明最速下降法收敛性的几何意义。考虑具有对称正定矩阵，其中这个函数的等值线为,c＞0改写为：这是以和为半轴的橢圆。图18.1.3图18.1.4从下面的分析可见，两个特征值的相对大小决定最速下降法的收敛性。（1）

7、当时，等值线变为圆。此时414因而由上述定理知：既只需迭代一步就到了极小点，这表明最速下降法用于等值线为圆的目标函数时，只需迭代一步就到了极小点。（2）,等值线为椭圆。此时对于一般的初始点将产生锯齿现现象。（3）当等值线是很扁的椭圆。此时，对于一般的初始点收敛速度可能十分缓慢，锯齿现象严重。图18.1.518.1.5加速最速下降法的收敛性上面我们已经证明最速下降法具有收敛性，收敛速度较慢，为了加速其收敛性，Shah等人于己于人1964年提出了一种“平行切线法”（简记为