第2章 习题课答案

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1、命题逻辑习题课参考答案一.命题符号化P:天下雪。Q:我将去镇上。R:我有时间。(1)如果天不下雪且我有时间，那么我将去镇上。(P∧R)→Q(2)我将去镇上，仅当我有时间。Q→R(3)天下雪，那么我不去镇上。P→Q(4)或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。显然这里的“或者”是“不可兼取的或”。令P:你给我写信。Q:信在途中丢失了。P⊕Q或(P∧Q)∨(P∧Q)(5)我们不能既划船又跑步。令P:我们划船。Q:我们跑步。(P∧Q)(6)如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否为他伴奏而定。令P:你来了。Q:你为他伴奏。R:他唱歌。P→((Q→R)∧(Q→

2、R))或：P→(QR)(7)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。令P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(P→Q)∧(P→(R∨S))(8)我今天进城，除非下雨。令P:我今天进城。Q:今天下雨。表达式为:Q→P(9)仅当你走我将留下。令P:你走。Q:我留下。表达式为:Q→P或者P→Q二.重言式的证明方法方法1：列真值表。方法2：公式的等价变换，化简成“T”。方法3：用公式的主析取范式。(1)证明(P→Q)→(P→(P∧Q))是重言式。方法1:PQP→QP→(P∧Q)(P→Q)→(P→(P∧Q))FFTTTF

3、TTTTTFFFTTTTTT方法2:(P→Q)→(P→(P∧Q))(P∨Q)∨(P∨(P∧Q))(P∧Q)∨((P∨P)∧(P∨Q))(P∧Q)∨(T∧(P∨Q))(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨(P∨Q))∧(Q∨(P∨Q)((P∨P)∨Q))∧(Q∨(Q∨P)(T∨Q))∧((Q∨Q)∨P)T∧(T∨P)T∧TT方法3(P→Q)→(P→(P∧Q))(P∨Q)∨(P∨(P∧Q))(P∧Q)∨P∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧

4、Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)可见，该公式的主析取范式含有全部(四个)小项，这表明(P→Q)→(P→(P∧Q))是永真式三.重言蕴涵式的证明方法方法1.列真值表。(即列永真式的真值表)(略)方法2.假设前件为真，推出后件也为真。方法3.假设后件为假，推出前件也为假。证明(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)B∨C方法2证明：设前件(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)为真，则A(B∨C),D∨E,(D∨E)A均为真。由D∨E,(D∨E)A均为真，得A为真,又由A(B∨C

5、)为真，得B∨C为真。所以(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)B∨C(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)B∨C方法3证明：设后件B∨C为F，则B与C均为F，1.如果D∨E为T，则1).若A为T，则A为F，则(D∨E)A为F，于是前件(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)为F。2).若A为F，则A为T，于是A(B∨C)为F，故前件(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)为F。2.如果D∨E为F，则前件(A(B∨C))∧(D∨E)∧((D∨E)A)为F。∴(A(B∨C))∧

6、(D∨E)∧((D∨E)A)B∨C四.等价公式的证明方法方法1：用列真值表。（不再举例）方法2：用公式的等价变换.(用置换定律)(1)证明((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))(B∧(D→A))→C左式((A∧B)∨C)∧(B∨(D∨C))((A∨B)∨C)∧(B∨(D∨C))((B∨A)∨C)∧((B∨D)∨C)((B∨A)∧(B∨D))∨C(B∨(A∧D))∨C(B∧(A∨D))∨C(B∧(D→A))→C(2)化简(A∧B∧C)∨(A∧B∧C）上式(A∨A)∧(B∧C）T∧(B∧C）B∧C五.范式

7、的写法及应用(1)写出(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))的主析取范式和主合取范式方法1，用真值表令A(P,Q,R)(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))A(P,Q,R)m0∨m7(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∑(0,7)A(P,Q,R)M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∏(1,2,3,4,5,6)PQRP(Q∧R)P(Q∧R)A(P,Q,R)0FFFTTT1FFTTFF2FTFTFF3FTTTFF4TFFF

8、TF5TFTFTF6TT