空间两条直线的位置关系学案

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1、1．2.2　空间两条直线的位置关系在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？1．空间的两条直线有如下三种关系：①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内，没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．相交直线和平行直线统称为共面直线．2．公理4.文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b⇒a∥c．3

2、．空间中的等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线所成的角：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角)．,一、空间两条直线的位置关系(1)共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种．(2)异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线．异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过

3、该点的直线是异面直线．空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢．①点A在直线b上，记作A∈b，点B不在直线b上，记作B∉b；②点B在平面α内，记作B∈α，点B不在平面α内，记作B∉α；③直线a在平面α内，记作a⊂α，直线a不在平面α内，记作a⊄α.二、公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号语言表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b⇒a∥c.公理4将平面内两条直线平行的传

4、递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一．但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来．三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．等角定理的实质是空间中角的平移，在应用时我们需要注意以下两个结论的区别：①如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补．其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记等角定理

5、的逆命题不成立．四、异面直线所成的角已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角)．求异面直线所成角的一般步骤是：①根据定义作出或找出两异面直线所成的角；②使该角为某个三角形的内角；③解这个三角形从而求角．其中通过平移法作出其所成角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围．千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角．若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角．　知识点一　空间两条直线之间

6、的位置关系1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的所成角大小是________．解析：先把平面图形还原为正方体(如下图)，然后根据图形就可以看出△ABC是等边三角形．答案：60°2．一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是________．解析：可用模型演示．答案：可能平行、可能相交、可能异面3．下列命题中，其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平

7、行；③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．答案：③知识点二　平行公理及等角定理的判断与应用4．如果一个角两边与另一个角的两边分别平行，并且方向不相同，那么这两个角________．解析：根据等角定理，但条件中方向相同变成了方向不相同，所以两角只能互补．答案：互补知识点三　异面直线及其所成角的概念5．两条异面直线指的是__

8、______(填序号)．①空间中不相交的两条直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行，选项②③可以借助正方体(如下图)，A′B′与AB这两条直线平行．答案：④6．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB与CD所成的角的大小．解析：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N.连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠M