相对论雅可比方程

《相对论雅可比方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、相对论哈密顿－雅可比方程王雪莲红河学院,云南省,中国,邮编661100摘要:利用相对论哈密顿－雅可比方法求出了电子在激光场中的相对论性运动方程的解析解．并且在电子与激光脉冲散射的实验室参照系电子初始静止参照系电子平均静止系中，对于给定的任意椭圆偏振的激光场，得到了解析表达式。关键词:相对论；矢势;哈密顿－雅可比方程;边条件;运动方程通过求解哈密顿－雅可比方程，从而得到力学问题的解，这就是经典力学中的哈密顿－雅可比方法为计算电子在激光场中的辐射，需要知道电．子的运动方程，本文考虑的即是这个问题当激光脉冲的强度很高时，电子将作相对论性运动，此时必须考虑磁场的作用

2、，因此要采用相对论形式的哈密顿－雅可比方法求解电子运动方程．相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由阿尔伯特·爱因斯坦(AlbertEinstein)创立，依据研究的对象不同分为狭义相对论和广义相对论。相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，共同奠定了近代物理学的基础。1哈密顿－雅可比方法哈密顿一雅可比方程是具特定形式的一阶常微分方程组（运动方程组）与一个相应的偏微分方程的关系的理论。它来源于分析力学，对经典力学、理论物理、微分方程。一个电荷为e静止质量为m的带电粒子在电磁场中运动，则相对论形式的哈密顿－雅可比方程为其中A为电磁场矢势，φ为标势，S

3、是哈密顿主函数。考虑电子被激光脉冲散射的情形，此时，标势.假定入射激光是任意椭圆偏振的横向平面波，波矢为k，频率满足，而洛伦兹不变相位η可表为，并且设激光场矢势是η的周期函数，在电子与激光束相互作用前后为零，在t=0时刻脉冲到达原点，于是矢势可写为将式(2)代入式(1)电子运动的哈密顿－雅可比方程化为首先我们注意到当外场A=0时，式(3)的解是显然的，为由于在哈密顿－雅可比方程中仅出现S的偏微商，因此式(4)略去了一个无关紧要的任意常数项，而常矢量和常数需满足条件这就是说在自由粒子情形，该粒子的四动量为哈密顿主函数S，是四动量与四矢径的标量积由于仅仅是相位的

4、函数，哈密顿主函数也必将包含依赖于相位的部分，受式(4)启发，我们寻求如下形式的解其中和由初始条件确定，并且为了方便起见，下文的讨论中均将初始时刻取为，此时电子位于原点，即函数由式(3)确定。将式(6)代入式(3)有消去的导数平方项，并应用横向条件得到Ψ的一阶微分方程:以表示初相位，积分可得．将代入式(6)即得到哈密顿主函数的解，将主函数对常矢量微商并令其等于初始坐标就得到电子的运动方程:其中表示对矢量a的各分量的偏导。将主函数对微商并利用就得到的表示:这其实就是上文的洛伦兹不变相位，在本文的计算中取将主函数对坐标微商得到正则能动量:利用式(12)可将能量表

5、为根据加在电子上的初始条件可以确定解的具体形式，下文考虑3种有代表性的情形:电子初始静止的参照系;电子平均静止的参照系;电子与脉冲任意角度散射的实验室参照系。2.不同参照系中的运动方程电子初始静止的参照系(以下简称e系，并用下标e标记)中，在激光束到达之前电子静止于原点即为在时电子的坐标，此时激光脉冲即将到达，场的矢势，电子初始动量，初始能量，由式(12)得到可见没有横向分量。将初始条件代入式(13)即得故的纵向分量满足式(14)和式(16)是加在和上的所有限制条件，不失一般性，可取和以简化计算，这样方程（10）变为于是我们就得到了电子初始静止系中的电子运动

6、方程：a将和代入式(12)和式(13)可解得电子的动量为而电子的能量为—式(18)式(20)给出了e系中电子运动方程的完整解。当电子处于激光场中时，电子平均动量为零的参照系(以下简称R系，用下标R标记)是一个非常有用的参照系。我们将此参照系相对于e系的速度记为，称为漂移速度，并取远大于光学周期而小于脉宽的时间作时间平均，则有解得R系中电子运动方程可通过对式(10)和式(13)加上相应的边条件来确定新的和而导出将R系初始条件应用于式(12)得到因此也没有横向分量，并满足限制条件其中满足。我们可取和以简化计算。时电子位于原点，由式（12）可得电子在R系中的运动为

7、可见电子在横向按照矢势的频率振动，而纵向振动为其2倍频，因此是两个简谐振动的叠加通过洛伦兹变换，R系中激光束频率可用e系频率的多普勒频移表示为接下来我们考虑最为一般的情形，即电子与激光脉冲散射的实验室参照系(以下简称L系，相应物理量用下标L标记)中电子的运动初始时刻电子位于原点，初始动量为，激光场矢势为0，代入式(12)有将和沿垂直和平行于脉冲传播方向分解为横向的，和纵向的、矢量，即,横向的、矢量垂直于，则由式(27)有根据式(13)我们得到，式(29)和式(30)即为实验室系中加在和上的所有限制因此我们可取等于0，即是横向的，，而以简化计算，代入式(12)

8、电子在L系中的运动方程为其中如上所述，并且电子的轨迹