几类特殊行列式的求解方法

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1、第15卷第5期高等函授学报(自然科学版)V01．15No．52002年10月JournalofHigherCorrespondenceEduca矗on(NatttrMScieaces)October2002文章编号：1006—7353【2002)05—0024(08)一05几类特殊行列式的求解方法+徐胜林孙平(华中师范大学数学系湖北武汉430079)摘要：本文通过严格的求解和论证，给出了r1．阶循环行列式、中心对称行列式等特殊行列式的求解方法和技巧，还介绍了降阶定理在简化行列式计算方面的应用。关键词：循环行列式；中心对称行列式；降阶定理；求解方法

2、中图分类号：O151．22文献标识码：A行列式的计算，是高等代数的重要内容的视个不同的根。之一，也是学习中的一个难点。阶数较低的行定理的证明可以采用析因子法，但过程列式，一般都可以直接利用行列式的定义和较长，受篇幅限制，我们受析因子法的启示，性质来求解。在计算，z阶行列式时，通常需要采用了下面这种比较简单但不太容易想到的灵活地应用一些计算方法和技巧，才能得出证明方法。结果。本文讨论了几类特殊的行列式，给出了证明易知求解的一些方法和技巧。～吼l眈q口1，2阶循环行列式的计算方法定义1形如‰n乱眈％～～孙‰q～％％q眈一岔ln～．～～～一‰q眈～％卅

3、n犹％撕～口1墨叠～巧D。=孙一‰吼一％<2～～～～¨．厂(而)观‘弛批1～口z，(毛)的行列式称为l'l阶z一循环行列式，简记为=z亨(毛)D。=『al，a2，⋯，口。l。，其中口1，口2，⋯，口。都为复数，称为D。的生成元。特别地，当z=1时，称D。为，z阶循环行11⋯1列式，记为D。=}口1，口2，⋯，口。f1；当名=一XlX2⋯Zn1时，称D。为咒阶反循环行列式，记为D。：记

4、AI=j口1，口2，⋯，口。}一1。硝一1z≥一1⋯znn-1定理1当z≠0时，咒阶?一循环行列则lAl是范德蒙行列式，AI=Ⅱ(乃一Xi)≠0。式D。=l乜1，％

5、⋯，口。l：=Ⅱf(xi)。其中1≤i

6、2+⋯+Xn--1的根，=lx2f(x。)zi^z：)⋯z≯(z。)lzi一1“z1)z§一1，(z2)⋯z#，(z。)l所以每一个叫‘都满足方程1十z+z2+⋯+z”1=0，从而=Ⅱ厂(zi)·AI，f(∞‘)=口[1+叫6+(叫‘)2+⋯+(叫‘)”一1]因此D。=

7、al，a2，⋯，口。l：+d∞五[1+2叫五十3(∞愚)2+⋯+(凡一=Ⅱf(x；)。1)(叫‘)”2]推论1设循环行列式D。=jnl，口2，：d讲幽址警血二一1Xj)--11)d，五=1，2，⋯，咒。其中口，d为已知数，则=d一·玉举盟!盟!⋯，a。I1的生成元具体为口l=口+

8、(愚一有=一糌=～砑ndl．(五-1，2，⋯一1)o=一————_=～——_Ip=I／⋯"一IJ．⋯’7。～1一∥一∥、。‘D。=}al，a2，⋯，a。Jl注意到∞，∞2，⋯，0．9n-x是多项式1+z+=i1．[2口+(7z一1)d]．(一咒d)n—l。z2+⋯+z”一1的7z一1个互不相等的根，故证明设g(x)=1+2z+322十⋯+z”一1+⋯+X2+z+1=(z一甜)(z一(7z一1)z”一2，则g(z)一zg(z)=1+z+z2∞2)⋯(z一∞”一1)。+⋯+z”一2一(72—1)z”一1，在等式两边同时令z=1，得所以，当z≠1时，出

9、)=出生生≯』芝。(1一叫)(1一叫2)⋯(1一Ojn-1)=咒。所以D。=l吣％⋯，口。j。=Ⅱ厂(叫‘)=(一兰)·(一禹)·(一当X=1时，易知g(1)=1+2+3+⋯+(咒一1)：丛冬型。尚)．．卜#鲁)·争2口+(咒一记厂(z)=∑口肛。～，则由定理1可知，1)d]17．[2口+(n一1)d]7l·(一nd)”一1D。=j％％⋯，口。I。=Ⅱ厂(∞‘)，—2(1一∞)(1一叫2)⋯(1一Ogn-1)其中叫：cos至堡十isin堑，叫，叫2，⋯，∞n：1—[2口+(咒一1)d]irl·(一nd)”一127z是z”一1的咒个互不相等的根。因

10、为=妻[2a+(咒一1)d]·(一nd)”一1。厂(z)=a1+a2z+a322+⋯+anx”一1推论2设循环行列式D。=ia1，a2，