论几何学之基础假说——黎曼

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1、中数网——http://www.cnmaths.com论几何学之基础假说(UeberdieHypothesen,welchederGeometriezuGrundeliegen.)黎曼(Riemann)张海潮、李文肇§研究大纲§I.n元量的概念§II.能适用于n元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度）§III.物理空间中的应用§译者注研究大纲大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此间的关

2、系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。从欧几里德（Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于「多元延伸量」（multiplyextendedquantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。我将指出，「多元延伸量」是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几

3、何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看，最重要的一套是欧几里得做为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。第9页共9页中数网——htt

4、p://www.cnmaths.comI.n元量的概念在尝试解决第一个问题──n元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为在这种哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。过去所学，除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特(Herbart)的一些哲学研究外，也少能派上用场。1.要了解「量」必须先有一个关于「量」的普遍观念和一些能体现它的特殊事例(instance)。这些事例形成了所谓的流形：任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此，是连续流形，否则为离散流形。个别事

5、例在前者中称为「点」(point)，在后者称为「元素」(element)。构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到──只要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了（在离散量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的「东西」都是同类的）。反过来说，连续流形的例子在日常生活中很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。利用标记或圈围取出流形的某些部分，称为「量」。对「量」的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量叠合；因此必须选出

6、一个量，充当其它量的测量标准。否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈「较多」(more)、「较少」(less)，而不知绝对的「大小」(howmuch)。以这种的方式进行，形成了对「量」研究的一个部门。其中「量」的观念独立于测距(measurement)，而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔(Abel)的著名定理及拉格郎吉(Lagrange)、发府(Phaff)和亚各比(Jacobi)等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发

7、挥的主要原因。从「延伸量」的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清「n元延伸量」的基本性质。第一点是关于「多元延伸量」这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题。2.第9页共9页中数网——http://www.cnmaths.com在一个概念下的事例如果构成连续流形，则从其中的一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的

8、一元流形，以致于旧流形上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子