高考数学复习必做的立体几何综合题.docd

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1、Doasx高考数学复习必做的立体几何综合题1、如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,,,为的中点。(Ⅰ)求直线与所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面内找一点,使面,并求出点到和的距离。解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为、、、、、,从而设的夹角为,则∴与所成角的余弦值为。(Ⅱ)由于点在侧面内,故可设点坐标为,则,由面可得,∴Doasx即点的坐标为,从而点到和的距离分别为。2、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中。(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)求点到平面的距离。解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系

2、,则,设∵为平行四边形,(II)设为平面的法向量,的夹角为,则∴到平面的距离为Doasx3、如图,已知正三棱柱—的底面边长是,是侧棱的中点,直线与侧面所成的角为.(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.解:(Ⅰ)设正三棱柱—的侧棱长为.取中点,连.是正三角形,.又底面侧面,且交线为.侧面.连,则直线与侧面所成的角为.在中,,解得.此正三棱柱的侧棱长为.注:也可用向量法求侧棱长.(Ⅱ)解法1:过作于,连,侧面.为二面角的平面角.在中,,又,.又在中,.故二面角的大小为.解法2:(向量法,见

3、后)(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,平面,平面平面,且交线为,过作Doasx于,则平面.在中,.为中点,点到平面的距离为.解法2:(思路)取中点,连和,由,易得平面平面,且交线为.过点作于,则的长为点到平面的距离.解法3:(思路)等体积变换:由可求.解法4:(向量法,见后)题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:(Ⅱ)解法2:如图,建立空间直角坐标系.则.设为平面的法向量.由得.取…………6分又平面的一个法向量…………7分.结合图形可知,二面角的大小为.(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,点到平面的距离=.Doasx4.正视图侧视图俯视图一个

4、几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼?试证明你的结论;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.ABCDC1图1解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形,高为CC1=6,故所求体积是ABCDD1

5、A1B1C1图2(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形,于是故所拼图形成立.(Ⅲ)方法一:设B1E,BC的延长线交于点G,连结GA,在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H,连结HB1,则B1H⊥AG,故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.在Rt△ABG中,,则,,,故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.-方法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在

6、直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).DoasxABCDD1A1B1C1EHxyzG图3设向量n=(x,y,z),满足n⊥,n⊥,于是,解得.取z=2,得n=(2,-1,2).又(0,0,6),故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.

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