量子力学讲义第7章

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1、第七章定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1非简并态微扰论微扰论的基本精神--对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①；②要远小于为分立谱；③已知或易求；①所研究的那个能级无简并。二、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数，按λ的幂次展开。方程：设代入方程：比较各级得：……最后令λ=1，求得各级。三、的各级近似1、一级近似64用展开。代入一级近似方程：用左乘上式，利用得其中在表象的矩阵元。令k=n，上式给出令k≠n，则有。问题：可以证明（自学教材）2、二级近似仿照一级近似的讨论，请同学们自己完成有关推导。结果有有关波函数的二级

2、近似见教材P245。实用中，通常计算到能量的二级近似，波函数的一级近似，这就要求微扰级数收敛得快，即要求远小于的含义。显然，如果邻近有一条或多条能级（近简并），则以上微扰不适用；对连续谱，此方法也不能用，将采用其他近似方法。一、应用举例请自学教材所列四个例子，我们另讲两个例子。例1、教材习题7.1、8。解：（1）引入新的产生算符和湮灭算符。64易知.(2)。，，同（1）。例2、教材习题7.1、9。解：（1）按微扰论公式，微扰后的基态，其中。在上面的计算中，我们利用了波函数的完备性。（2）利用（1）的结果，有略去高阶小量，即得。7.2非线性谐振子（也可作为应用例子）线性：。一、非线性项有确定的宇

3、称为偶函数。64。考虑。而。我们有一、非线性项（略）（可以作为练习来训练）作业：习题7.1、1，6，7，10。647.3简并态微扰论一、简并带来的问题零级能量给定，对应的零级波函数不唯一（详见教材分析）。原因：与对称性有关，加上微扰→对称性破坏→简并全部或部分消除。二、求零级近似波函数与能级的一级近似设重简并，且正交归一。我们的任务是求解。1、各级近似方程将展开式代入方程。仿7.1的讨论，有，其中。按λ的幂次展开：可得……2、求能级的一级修正若讨论能级：。若m≠n，则；若m=n，则待定。记。64取m=n，得记，则有这是的齐次方程，非平庸解条件为久期方程。由此求得的个根：。①若无重根→简并完全消

4、除，能级分裂成条，且波函数完全确定。②若有重根→简并未完全消除，相应的波函数仍然不确定。1、求零级近似波函数。4、简并微扰论的实质以为基，构成属于的维子空间。在这个子空间中：是对角的。可以证明，也是对角的（证明见教材）。由此可见，的一级近似就是的对角元。这表明，简并态微扰论的实质就是适当选择简并子空间的基，使对角化。三、近简并情况若的一些能级并不简并，但彼此很靠近，破坏了的条件，在这种情况下，可以在这些能级所有的状态张开的子空间中将对角化，从而得到能级和波函数。例：教材P263例5，二能级体系。已知解：设64则可表示成。解久期方程得式中两能级的重心表征耦合强度（的重要性）。设可解得，。7.4氢

5、原子的二级斯塔克效应（应用实例）斯塔克效应：原子置于外电场中，它的光谱会发生分裂。我们用简并微扰论来解释这一效应。考虑第一激发态：。一、算符我们采用狄拉克符号。的本征值为，本征态为。二、能级的一级修正利用附录公式（教材P430）64以及的正交性，可知具有如下选择定则：，即不满足此条件的矩阵元为零。计算（见教材）得非零的矩阵元。于是，久期方程为。三、零级近似波函数对，对，对二重根，零级波函数不唯一，可取原来的零级波函数。分裂成三条谱线。作业：习题7.3、1，*2647.5变分法一、变分法的基本思想设的正交归一完备的本征函数集。定理：体系在任意态中能量的平均值，必大于或等于体系基态能量。证：展开对

6、归一化的，有。已知，变分法的基本思想：取一系列波函数计算，则最小的那个必最接近基态能，与之相应的那个波函数必最接近基态波函数求基态近似能量和近似波函数的方法--里兹法。二、变分法的基本步骤1、由物理分析，选择含待定参数的尝试波函数。2、计算积分。3、由极值条件，求出使积分取最小值的参数，则基态近似能量和波函数为，。例：教材P272例1，求线性谐振子的。解：S-方程641、提出尝试解：令，S-方程变成。它的渐近解为。受此启发，设尝试解由归一化条件求A，有（见教材）。2、计算积分：有（具体计算见教材）。3、由极值条件定解：，。与精确解完全一样，说明尝试解选择得好。变分法处理激发态问题比较复杂，通常

7、只用来求基态问题。7.6氦原子的基态一、：。二、尝试波函数：若无相互作用项，则，相互作用导致“屏蔽效应”，使核的有效电荷小于2e→把Z64变成参数（待定）。三、计算积分：=I1（动能项）+I2（单粒子势能项）+I3（相互作用项）计算结果（详见教材）。四、：，。实验结果，微扰的一级近似为。在这个问题中，变分法比微扰论为好，原因是相互作用项并非远小于前几项。。作业：习题7.5、1，2，3。64