立体几何专题——空间角

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1、立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a΄//a，b΄//b，相交直线a΄b΄所成的锐角（或直角）叫做。2.范围：3.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出，，代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量（3）三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余

2、弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作AC的平行线（补形平移法）方法二：过AC的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为（Ⅰ）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面⊥面（Ⅱ）解

3、：因例4、如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点求直线与所成角的余弦值；解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为训练题1.正方体的12条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。2.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为。3.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为，则异面直线a与b所成的角为。4.如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为。5.如图PD平

4、面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为（2）若直线PD，且AF与BE所成角为1.=30˚行吗？2.=75˚时；=。6.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120˚，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为　　　。（2）MN与BC所成的角为　　　　。8.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为　　　　（2）M、N分别是AA1，B

5、B1的中点，则CM和D1N所成的角是　　　。9、如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（）解法一：(I)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．又，∴AB平面PCB．(II)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角．由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．则AF=CF=，PF=，在中，tan∠PAF==，∴异面直线PA与BC所成的角为．解法二：

6、(II)由(I)AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．则+0+0=2．==．∴异面直线AP与BC所成的角为．第二节、直线和平面所成的角一、基础知识1.定义：（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③）2.直线与平面所成角范围是　　　　　　　。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）4.求法：几何法　公式法　问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即

7、：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量与面的法向量分别是,则的余角或其补角的余角即为与所成的角，二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、（2007高考