高级数理逻辑-习题

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1、1.逻辑语言由哪些内容构成？现代逻辑扩张的方法有哪些？举例说明。1.一个字母表(alphabet)：记为A或S，其元素称为符号，符号(symbol,sign)的有限串构成字(word)。2.一个项集(termset)：记为TERM，其元素称为项(term)，是某种合法的字。3.一个公式集(formulaset,well-formedformula--wff)：记为FORMULA，其元素称为合式公式(wff)，简称公式，是某种合法的字。一般地，项集与公式集是不相交的，即TERMÇFORMULA=∅。4.有关的一些

2、语法理论。(1)项形成规则(formationruleofterms)：规定合法的项；(2)公式形成规则(formationruleofwffs)：规定合法的公式；(3)括号省略的原则：缩写约定；(4)代入规则(substitutionrule)：代入的原则及为保持这一原则所作的规定；(5)其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。1.先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统(从语义到语法)；例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊

3、逻辑、归纳逻辑等。2.先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释(从语法到语义)3.两种扩张的方法混合使用。1.三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的(1)经典的二值逻辑对联结词的语义解释——赋值υ:FORMULA®VAULE(这里：VAULE={t,f})其真值表如下：ØÙtfÚtf®tf«tftfttftttttfttfftfffftffttfft2.从语法到语义的扩张例如：以下是各非经典逻辑所

4、增加的新算子。n模态逻辑：☐(必然)，¯(可能)；n时态逻辑：☐(总是)，¯(有时)，o(下一个)，(下一时)，U(直到)；n二阶逻辑：二阶变项，二阶量词；n道义逻辑：O(必须)，P(允许)，F(禁止)；n优先逻辑：P(优先)；n时间逻辑：P(过去)，R(现在)，F(将来)；n时相逻辑：H(发生)，B(未发生)，A(事后)，G(完成)；n信念逻辑：B(相信)；断定逻辑：A(断定)；………等。3.两种扩张的方法混合使用。例如：非经典的莱欣巴哈(Reichenbach)三值量子逻辑。在联结词方面莱欣巴哈三值量子逻辑

5、增加了：n两种否定词：～(循环否定)，——(完全否定)，(原否定词(Ø)称为直接否定(－))；n两种蕴涵词：®(二者择一蕴涵)，　(准蕴涵)，(原蕴涵词(®)称为标准蕴涵(É))；n一种等价词：　(二者择一等价)，(原等价词(«)称为标准等价(º))；n(并且原合取词(Ù)记为(×))。1.求命题公式Ø（PÚQ）«（PÙQ）的析取范式与合取范式。Ø（PÚQ）«（PÙQ）<=>(Ø（PÚQ）®（PÙQ）)Ù(（PÙQ）®Ø（PÚQ）)<=>(（PÚQ）Ú（PÙQ）)Ù(Ø（PÙQ）ÚØ（PÚQ）)<=>(（PÚQ

6、）Ú（PÙQ）)Ù(（ØPÚØQ）Ú（ØPÙØQ）)<=>（PÚQ）Ù（ØPÚØQ）(合取)<=>（ØPÙQ）Ú（PÙØQ）（析取）2.试求下列公式的主析取范式：（1）=>ØPÚ((ØPÚQ)Ù(PÙQ))=>(ØPÙ(ØQÚQ))Ú(PÙQ)=>(ØPÙØQ)Ú(ØPÙQ))Ú(PÙQ)（2）=>PÚ(PÚ(QÚ(QÚR)))=>PÚQÚR=>(PÙ(ØQÚQ)Ù(ØRÚR))Ú((ØPÚP)ÙQÙ(ØRÚR))Ú((ØPÚP)Ù(ØQÚQ)ÙR)=>(PÙQÙR)Ú(PÙQÙØR)Ú(PÙØQÙR)Ú(PÙ

7、ØQÙØR)Ú(ØPÙQÙR)Ú(ØPÙQÙØR)Ú(ØPÙØQÙR)3.利用基本等值式证明下列命题公式为恒真公式。（（P®Q）Ù（Q®R））®（P®R）<=>Ø（（ØPÚQ）Ù（ØQÚR））Ú（ØPÚR）<=>（PÙØQ）Ú(QÙØR)Ú（ØPÚR）<=>（（PÙØQ）ÚØP）Ú((QÙØR)ÚR)<=>(ØQÚØP)Ú(QÚR)<=>T（（PÚQ）ÙØ（ØPÙ（ØQÚØR）））Ú（ØPÙØQ）Ú（ØPÙØR）<=>((PÚQ)Ù(PÚ(QÙR)))Ú（ØPÙØQ）Ú（ØPÙØR）<=>(PÚ(QÙR))Ú（

8、ØPÙØQ）Ú（ØPÙØR）<=>(PÚ(QÙR))Ú(ØPÙ(ØQÚØR))<=>TÙ((ØQÚØR)ÚPÚ(QÙR))<=>(QÙR)ÚPÚØQÚ（ØPÙØR）<=>RÚØQÚPÚØR<=>T4.设已知：(1)能阅读者是识字的；(2)海豚不识字；(3)有些海豚是很聪明的。试证明：有些聪明者并不能阅读证首先，定义如下谓词：R(x)：x能阅读。L(x)：x识字。I(x)：x是聪明的。D