圆锥曲线方程-综合(知识点、典型例题、考点、练习)

《圆锥曲线方程-综合(知识点、典型例题、考点、练习)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆锥曲线综合.知识点一　定义和性质的应用　设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且

2、PF1

3、>

4、PF2

5、，求的值．解　由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝.由椭圆定义，知

6、PF1

7、＋

8、PF2

9、＝6，

10、F1F2

11、＝2.(1)若∠PF2F1为直角，则

12、PF1

13、2＝

14、F1F2

15、2＋

16、PF2

17、2，

18、PF1

19、2－

20、PF2

21、2＝20.即解得

22、PF1

23、＝，

24、PF2

25、＝.所以＝.(2)若∠F1PF2为直角，则

26、F1F2

27、2＝

28、PF1

29、2＋

30、PF2

31、2.即20＝

32、PF1

33、2＋(6－

34、PF1

35、)2，解得

36、PF1

37、＝4，

38、PF2

39、

40、＝2或

41、PF1

42、＝2，

43、PF2

44、＝4(舍去)．所以＝2.知识点二　圆锥曲线的最值问题　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求

45、MA

46、＋

47、MB

48、的最值．解　因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(4,0)，由椭圆定义知

49、MA

50、+

51、MA′

52、=10.如图所示，则

53、MA

54、+

55、MB

56、=

57、MA

58、+

59、MA′

60、+

61、MB

62、

63、MA′

64、=10+

65、MB

66、

67、MA′

68、≤10+

69、A′B

70、.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(

71、MA

72、+

73、MB

74、)max=10+

75、A′B

76、=10+2.又如图所示，

77、MA

78、+

79、MB

80、=

81、MA

82、+

83、

84、MA′

85、

86、MA′

87、+

88、MB

89、=10(

90、MA′

91、

92、MB

93、)≥10

94、A′B

95、，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(

96、MA

97、+

98、MB

99、)min=10

100、A′B

101、=102.12用心爱心专心知识点三　轨迹问题　抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．解　设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由，可得x2－4kx＋4＝0，∴x1＋x2＝4k.又AB和RF是平行四边形的对角线，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1.而

102、y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，∴，消去k得x2＝4(y＋3)．由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－16>0，∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.∴顶点R的轨迹方程为x2＝4(y＋3)，且

103、x

104、>4.知识点四　直线与圆锥曲线的位置关系　已知直线l：y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)当k＝0,0

105、AB

106、=2∴S△AOB=×2·b=b=b≤·，当且仅当b2=，即b=时取等号．∴△AOB的

107、面积S的最大值为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1+2k2)x2+4kbx+2b22=0，∴x1+x2=，x1·x2=.又∵OA⊥OB，∴(x1，y1)·(x2，y2)=0，即x1x2+y1y2=0.12用心爱心专心又x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(k2+1)·x1x2+kb(x1+x2)+b2=(k2+1)kb+b2=，∴3b2=2k2+2.又设原点O到直线l的距离为d，则d=.∴l与以原点为圆心，以为半径的定圆相切，该圆的方程为x2+y2=.考题赏析　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(陕西高考)已知抛物线C：y＝2x2，

108、直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使·=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解　(1)如图所示，设A(x1,2x12)，B(x2,2x22)，把y=kx2代入y=2x2，得2x2kx2=0，由韦达定理得x1x2=，x1x2=1，∴xN=xM=，∴N点的坐标为.设抛物线在点N处的切线l的方程为y=m，12用心爱心专心将y=2x2代入上式得2x2mx∵直线l与抛物线C相切，∴Δ=m28（）=m22mkk2=(mk)2=0，∴m=k，即l∥AB.（2）假设存在实数k，

109、使·＝0，则NA⊥NB.又∵M是AB的中点，∴

110、MN

111、＝

112、AB

113、.由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.∵MN⊥x轴，∴

114、MN

115、＝

116、yM－yN

117、＝＋2－＝.又

118、AB

119、＝·

120、x1－x2

121、＝·＝·＝·.∴＝·，解得k＝±2.即存在k=±2,使·＝02．(福建高考)如图所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB为垂