量子力学第五章近似方法

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1、第五章近似方法量子力学中的薜定谔议程能求出解析解的情况并不多。在第二章中曾讲述了几个能求出解析解的例子。在许多实际问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解析解；同时，由于对实际问题的考虑总有程度不同的简化和近似，所以也没有必要一定要求出精确的解析解。因此，对于大量的实际问题，近似方法是很重要的。薜定谔议程的近似解可分为数值近似解与解析近似解两种，在这一章中将只讲述求解析近似解的方法。5.1非简并定态微扰论1.定态微扰论中的方程及波函数的归一化条件设体系的哈密顿算符不显含时间t，而且可表示为两部分之和：一部分是，具基

2、本征方程容易求解；另一部分是小量，可以视为加在上的微扰。=+（5.1-1）（5.1-2）由于上方程容求解，所以与可视为己知。若能级无简并，则只对应唯一的；若能级的简并度为，则可改写为，j=1.2…为描写简并波矢的序数。的本征方程为：（5.1-3）通常上方程不易求解。微扰的加入使体系的能量由变为，对应的波矢也由变为。如果设：（5.1-4）则当λ由零度变到1时，正好反映了这种变化过程，所以λ是表征微扰程度的参数。λ应为实数，使保持为厄密算符。将上式代入（5.1-3）式后求得的和展开为λ的幂级数：（5.1-5）（5.1-6）152其中，和

3、是和的零级近似。当λ=1时，是和的一级近似，而和和为和的一级近似修正项……。值得注意的是：当的简并度为时，个张开一个维空间，在此空间中，的本征值是确定的。加入后，此维空间可能分裂为几个正交子空间，在每个子空间中，的本征值是确定的。每一个不一定只处在某个子空间中。通过个的线性组合可以构成新的个独立的，其中α表示第α个子空间，β表示第α个子空间中描写简并的角标（β的取值个数与该子空间的维数相同），调节组合系数可使个分别处在各子空间中。只有处在同一子空间内的的线性组合才能作为的零级近似波函数。只有当子空间为一维时才能完全确定零级近似波函数

4、。如果无简并，则的零级近似波函数就是对应的本征函数；如果有简并，则的各零级近似波函数都应表示为的线性组合，其组合系数有待进一步确定。将（5.1-4）、（5.1-5）、（5.1-6）式代入（5.1-3）式得：比较止式中入同次幂的系数得（5.1-7）（5.1-8）（5.1-9）（5.1-7）式、（5.1-8）式、（5.1-8）式……就是定态微拢论中应逐级考虑的方程。由得：比较上式中入同次幂的系数得：152（5.1-10）（5.1-11）（5.1-12）（5.1-10）式、（5.1-11）式、（5.1-12）式……就是定态微扰论中应逐级考

5、虑的波函数归一化条件。2.一级微扰考虑的某个无简并能级，将对展开：（5.1-13）若其他能级有简并，则上式中的lk的集合，其中k为描写简并的角标。将止式代入（5.1-8）式得：设为公正基组，以左乘上式两边得：（5.1-14）当m=n时，得一级能量修正项为：（5.1-15）当m≠n时得：（5.1-16）由于上式中的m≠n，所以（5.1-13）式中的展开系数中还有一个未求出，可由归一化条件求出，由（5.1-11）式得：因为没有其他条件限制的选取，所以可选取为实数，则得：152（5.1-17）将上式与（5.1-16）式代入（5.1-13）

6、式可得波函数的一级修正式为：（5.1-18）上式中带撇的表示在求和中不含m=n的项。3.二级微扰将对（5.1-19）将（5.1-18）式，（5.1-19）式代入（5.1-9）式得：以左乘上式两边得：(5.1-20)当m=n时，注意到在中l≠n，则从上式得二级能量修正项为：因H′为厄密矩阵，，所以上式可化为：（5.1-21）当m≠n时，由（5.1-20）式得：（5.1-22）由（5.1-19）式可知，要完全确定波函数的二级修正项，还必须求出，可利用归一化条件（5.1-12）式求出，即取为实数得：152（5.1-23）至此，波函数的二级

7、修正式已完全确定。总结上述一级和二级微扰的结果如下：（5.1-24）（5.1-25）如果只考虑微扰非间并能级的影响，则除能级外，其他能级允许有简并。设能级的简并度为，对应的个正交为一波函数为，i=1.2…，则上述各微扰论公式应作如下修改：将角标m都改为mi，将对m的求和都改为对mi的求和。上述定态微扰论方法实际上是哈密顿算符本征方程的微扰论求解方法，这种方法对求解其他含微扰项算符的本征方程也同样适用。当粒子在有心力场中运动时，径向方程通常没有简并，当径向方程中含微扰项时，便可应用非简并微扰论方法求解。在（5.1-24）式与（5.1-

8、25）式中，级数收敛很快的条件是：，m≠n（5.1-26）上式就是定态微扰论适用的条件。当这人条件被满足时，（5.1-24）式与（5.1-25）式的级数只需计算前面几项就可以了。如果上式不满足，则定态微扰论不适用。由上式可知，定态微扰