无穷递缩等比数列求和教学案例及反思

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1、无穷递缩等比数列求和教学案例及反思如“无穷递缩等比数列求和”是在学生学习了数列及数列极限等知识的基础上提出来的，它与数列、方程、函数和极限等知识有内在的联系，能与实际生产和生活中的问题相结合，但是，学生对无穷数列各项和，有限到无限的思想方法，以及用极限的方法去解决实际问题还缺少思想基础，因此，我在设计这一节课时，设计情景，提出问题，通过实际问题、具体问题，以引起学生情感体验，引导学生学会建构、探究，最终达成教学目标。（一）设计情境——提出问题问题1：如果不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为

2、什么?这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。（二）自主探究——感知问题我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。（三）合作交流——形成共识（1）问题1的讨论结果：S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次

3、放入的量为a1,第二次放入的量为a2,…设第n次放入的量为an，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能很大，总能放满箱子。S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为a1,第二次放入的量为a2,…第n次放入的量为an，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能也很小。（2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型问题2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，…，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模

4、型是：a＋a＋a＋…=a(a是粉笔的长)S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，…，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是：b＋b＋b＋…=b(b是一杯水)……问题3：你能否将S3与S4这类问题一般化？若设第一次放入空箱子中去的量为a1，第二次放入空箱子中的量为a2，…第n次放入空箱子中去的量为an，…，数列{an}有何特点？同学们得出结论：数列{an}是等比数列，也是递减数列，且项数无穷的。接着再让学生自主研究无穷递缩等比数列的定义，并判定数列{an}是否为

5、无穷递缩等比数列？再进一步思考无穷递缩等比数列是否一定是递减数列？总结无穷递缩等比数列的几个特征，加深对概念的理解。（3）Sn与S的关系问题4：当

6、q

7、<1,qn=a1qn,可以证明，当n→＋∞时，an→0(让学生课后证明)请学生思考：若设数列{an}前n项和为Sn，，所有项的和为S，运用极限的思想，你能否发现Sn与S的关系？讨论结果：S=limSn（4）   求无穷递缩等比数列的和问题5：怎样求无穷递缩等比数列{an}的和？Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an=,limSn=lim因为当

8、q

9、<1

10、时，limqn=0,所以S=limSn=我这时就说：好！我们通过自主探索与合作交流，得出了无穷递缩等比数列的求和公式：S=（

11、q

12、<1）（5）公式的应用（略）通过应用交流，使学生加深对公式的认识，体验了数学模型化思想，让学生在交往中学习数学。（四）总结反思——共同创新本课我们运用情景化、问题形象化、探究化等数学方法，将游戏问题转化为数学模型——无穷递缩等比数列的和。为了概括所学内容的逻辑结构，提炼思想观点，引导学生创新，我将本课研究过程和方法概括如下：                      

13、    抽象概括            应用教学全过程概括为：具体问题——————数学模型—————解决实际问题。                       改造          抽象概括解决问题的思想方法：现实问题————现实模型————数学模型——数学方法             检验             探究、深化、拓展、————数学模型的解————现实问题的解————————现实问题                                        是否符合实际？由此

14、课例，不难看出，问题式、情景式教学交互设计，促进了学生形象思维和抽象思维的相互补充、相互促进，这种设计以培养兴趣为前提，以指导观察思考为基础，以发展思维为重点，以自主探究、合作交流为手段，让学生在感情体验中真正地用“心”去学习。数学本身是为人的，是开放的，是丰富多彩的，一句话，数学是为人所用的。而这一事例生动地告诉我们，作为数学老师，不同的教育观念、不同的思想方法会有不同的数学思路和教学方法，学生会有不同的发展结果，只要我们用心地去备好每一节课，设计得当的教学程序，我们的学生将会把数学掌握得更好