第五章： 对称性及守恒定律

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1、第五章：对称性及守恒定律　　　　　　　第五章：　对称性及守恒定律　　［１］证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：　　　　　　　　　　　　（是哈密顿量）　　（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量不显含，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：　　　　　　　　　　　（２）此式遍乘即得待证式。　　［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。　　（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：　　　　　　　　　将此平均值

2、求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）　　　　　　　　　　　　（１）今代表的本征态，故满足本征方程式　　　　　　　　　　　　　　　（为本征值）　　　　　　（２）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积公存在）　　　　　　　　　　　　　　（３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：　　　　　　　　　　　　　　　　因，而　　［３］设粒子的哈密顿量为　　。（１）证明。（２）证明：对于定态　　（证明）（１），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）分动量算符仅与一个座标

3、有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）将（４）（５）代入（３），得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　代入（１），证得题给公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）　　（２）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令则　　　　　　

4、　　　　　（７）但动能平均值　　由前式　　　　　　　［４］设粒子的势场是的次齐次式证明维里定理（Ｖirialtheorem）　　　　　　　　　　　　　式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：　　（１）谐振子　　　　　　　（２）库仑场　　　（３）　　（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标的次齐次式，则不论是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）此处的暂设是正或负的整数，它们满足：　　　　　　　　　　　（定数）是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。　　

5、根据前一题的结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）现在试行计算本题条件下的式子及其定态下平均值。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（２）即得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）　　本证明的条件只要不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用（２）式加以验证。　　（１）谐振子：直接看出，根据（３）式知道　　　　　　　，即　也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论　　

6、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，由（３）式可知　　（２）库仑场　直接看出Ｖ是的次齐次式，按（３）式有：　　　　　　但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　代入（２）式，亦得到　　　　　　（３）场直接看出Ｖ是的次齐次式，故由（３）式得：　　　　　　　　　　仍根据（２）式来验证：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由（２）得　，结果相同。　　本小题对于为正、负都相适，但对库仑场的奇点除外。　　［５］证明，对于一维波包：　　　　　　　　　　（解）一维波包的态中，势能不存在故　　

7、　　　　　　　　　　（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）但　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）因　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）代入（２）式，得到待证的一式。　　［６］求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。　　（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）又对于自由粒子