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1、山东政法学院教案模版授课时间第九周第2次课授课章节4.6函数的定义与性质4.7函数的复合与反函数任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排3课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，20082.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：给定f,A,B,判别f是否为从A到B的函数；判别函数f：A®B的性质（单射、满射、双射）；熟练计算函数的值、像、复合以及反函数；证明函数f：A®B的性质（单射、满射、双射）；给定集合A,B，构造双射函数f：A®B。教学重点、难点:重点：函数的概念，会判断给定集
2、合是否为函数、是否为从A到B的函数；计算函数的值、像、完全原像以及BA；单射、满射、双射的性质、构造从A到B的双射函数；复合函数、双射函数的反函数。难点：复合函数、双射函数的反函数教学内容:4.6函数的定义与性质一、本节主要内容函数的定义函数定义从A到B的函数函数的像函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数二、教学内容函数定义定义设F为二元关系,若"x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的函数值.例1F1={,,}F2={,<
3、x1,y2>}F1是函数,F2不是函数山东政法学院教案模版函数相等定义设F,G为函数,则F=GÛFÍG∧GÍF如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)"x∈domF=domG都有F(x)=G(x)实例函数F(x)=(x2-1)/(x+1),G(x)=x-1不相等,因为domFÌdomG.从A到B的函数定义设A,B为集合,如果f为函数domf=AranfÍB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.实例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数B上A定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上
4、A”，符号化表示为BA={f
5、f：A→B}计数：
6、A
7、=m,
8、B
9、=n,且m,n>0,
10、BA
11、=nm.A=Æ,则BA=BÆ={Æ}.A≠Æ且B=Æ,则BA=ÆA=Æ.实例例2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.解BA={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}山东政法学院教案模版f6={<1,b>,
12、<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}函数的像定义设函数f：A→B,A1ÍA.A1在f下的像：f(A1)={f(x)
13、x∈A1}函数的像f(A)=ranf注意：函数值f(x)∈B,而像f(A1)ÍB.例3设f：N→N,且令A={0,1},B={2},那么有f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}函数的性质定义设f：A→B,（1）若ranf=B,则称f：A→B是满射的.（2）若任意x1，x2ÎA而且不相等，都有f(x1)与f(x2)不相等,则称f：A→B是单射的.（3）若f：A→B既是满射又是单射的,则称f：A→B
14、是双射的（一一到上的）f满射意味着："yÎB,都存在x使得f(x)=y.f单射意味着：f(x1)=f(x2)Þx1=x2实例例4判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：R→R,f(x)=-x2+2x-1(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：R→Z,f(x)=ëxû(4)f：R→R,f(x)=2x+1(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集. 实例（续）解(1)f：R→R,f(x)=-x2+2x-1山东政法学院教案模版在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+→R,f(x)=lnx单调上升,是单射.但
15、不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f：R→Z,f(x)=ëxû满射,但不单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4)f：R→R,f(x)=2x+1满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}解A={Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
