大关一中王有祥抽象函数的周期与对称轴

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1、抽象函数的周期与对称轴云南大关一中王有祥本周教学重、难点重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。具体内容1.若则的周期为T。2.若则的周期为证：令∴3.则的周期证：令∴①令∴②由①②得：∴∴4.若则图象的对称轴为证：要证原结论成立，只需证令代入则5.若则的图象，以为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证令代入则方法二：设它的图象为C则P关于点的对称点∵∴∴【典型例题】[例1]对于，有下列命题。6（1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。（2）若且均成立，则为偶函数。（3）若恒成

2、立，则为周期函数。（4）若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的为？解：（2）（3）[例2]若函数有求。解：，知的图象关于对称而的对称中心∴∴则[例3]设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。解：由有得设则∴∴时[例4]已知是定义在R上的函数且满足，当时有则（1）是周期函数且周期为2（2）当时，（3）其中正确的是？解：（1）（2）（3）[例5]已知满足，，当时，且，若，，求、、的大小关系？解：由已知得，对称轴∴也为一条对称轴∴∴由∴∴∴，，∴[例6]定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是

3、，且当时，求的值。6解：[例7]设定义在R上，有且当时，（1）求证：且当时，（2）求证：在R上递减。解：（1）在中，令，得∵∴设，则令，代入条件式有而∴（2）设则∴令，则代入条件式得即∴∴在R上递减【模拟试题】一.选择1.已知满足，且是奇函数，若则（）A.B.C.D.2.已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，，当时，（）A.B.C.D.3.若函数，都有则等于（）A.0B.3C.D.3或4.函数是（）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的奇函数5.的图象关于y轴对称的充要条件是（）A.

4、B.C.D.6.如果且则可以是（）A.B.C.D.7.为偶函数的充要条件是（）A.B.C.D.8.设是R上的奇函数，当时，，则6（）A.0.5B.C.1.5D.9.设，有那么（）A.B.C.D.10.定义在R上，则与的图象关于（）A.对称B.对称C.对称D.对称二.填空1.是R上的奇函数，且，则。2.函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是。3.为奇函数，且当时，则当时。4.偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则（1）（2）（3）（4）中正确的是。三.解答题1.设是定义在R上的偶函数，图象关于对称，、都有且（1）求、（2）证明：是

5、周期函数2.如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足3.已知对任意实数t都有，比较与的大小。4.定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。【试题答案】6一.1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.B8.B9.A10.D二.1.02.3.4.（2）三.1.解：（1）∵都有∴∵∵，∴（2）由已知关于对称∴即，又由是偶函数知，∴，将上式中以代换得∴是R上的周期函数，且2是它的一个周期2.证：∵关于和对称∴，∴令，则∴即3.解：由知抛物线的对称轴是1∴而根据在上是增函数得即4.解：设

6、即∴∴有∴所有实根之和为注：一个结论：设，都有且有k个实根，则所有实根之和为66