量子力学周世勋习题解答第五章

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1、第五章习题解5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知其中是不考虑这种效应的势能分布，即为考虑这种效应后的势能分布，在区域，在区域，可由下式得出，由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态）∴，故。∴#5.2转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为取，则由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得

2、此问题。的本征值为本征函数为的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知#5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得得∴能量的二级修正值为#5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为②时，氢原子处于基态，其波函数为在时刻，微扰其中在时刻跃迁到

3、电离态的几率为对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，Oθαxyz（）其中取电子电离后的动量方向为Z方向，取、所在平面为面，则有∴#5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：对于2p态，，可取三值，其相应的状态为氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。由(取方向为Z轴方向)=0=0由上述结果可知，，∴当时，其中#5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。解：由选择定则，知是禁戒的故只需计算的几率而2p有三个状态，即(1)先计算z的矩阵元(2

4、)计算x的矩阵元(3)计算的矩阵元(4)计算#5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解：若，则#5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解：由时，即选择定则为#补充1：一维无限深势阱中的粒子受到微扰作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数（零级近似）为∴能量一级修正为补充2：具有电荷为的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为。其波长较长，求：①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。②讨论跃迁的选择定则。（提示：利用积分关系答：①②仅当，所以谐振子的偶极跃迁的选择定则是）

5、解：①∴(对于一维线性谐振子～)其中一维线性谐振子的波函数为∴∴②跃迁几率，当时的跃迁为禁戒跃迁。可见，所讨论的选择定则为。#补充3：电荷e的谐振子，在时处于基态，时处于弱电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。解：取电场方向为轴正方向，则有当经过很长时间以后，即当时，。∴实际上在以后即可用上述结果。#《量子力学》考试大纲一．绪论（3）1．了解光的波粒二象性的主要实验事实；2．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。二．波函数和薛定谔方程（12）(1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念。(

6、2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性．(3)理解态叠加原理以及任何波函数Ψ(x，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．(4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系．(5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法．(6)关于一维定态问题要求如下：a．掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论；b．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点：c．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释．三．力学量用算符表达（17）(1)掌握算符的本征值和本征方

7、程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符．(2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．(3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法．(4)掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符的本征函数展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、

8、概率和平均值．理解在什么状态下力学量具有确定值以及在什么条件下，两个力学量同时具有确定值．(5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量．(6)掌握如何