§8.5复合函数微分法

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1、§8.5多元复合函数微分法复习：一元复合函数的求导法则设是由和复合而成，则。8.5.1全导数定理1若函数及都在点可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点可导，且（全导数公式）。①证明：给以增量，则、得相应的增量、，从而有全增量，∵在处可微，∴，其中。∵、都在点可导，∴、都在点必连续，即当时，，，从而。∵，而，∴，即。7全导数公式可形象地表示为，“按线相乘，分线相加”。可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。例如：，而，则，。例1．已知，而，，求。解法1：。解法2：，。定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。8.5.2复合函数的微分法

2、一、复合函数的微分法定理2设，而。若在点处偏导数都存在，而在相应点可微，则复合函数在点处存在偏导数，且，。7类似地，，而，则，，。在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。例如：设，，则，，。如果，，则注意：这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的看作不变而对的偏导数。与也有类似的区别。例2．设，而，，7求，。解：；。例3.设，而，为可导函数，证明：。证明：，，。例4．设，，求和。解：.7.例5．设，有二阶连续偏导数，求，，。解：设，，则，。。例6．设，具有二阶连续偏导数

3、，求及。解:以1、2分别表示、两个中间变量，函数的复合关系图如右：7，，，，故.例7．设，具有连续的二阶偏导数，求，，。解：，，。二、全微分形式不变性设可微，（1）若是自变量，则。（2）若是中间变量，即，，，则复合函数的全微分为7。由此可见，无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，此性质称为全微分形式不变性。例7．已知，，，求。解法1：先求出，，再求出。解法2：利用全微分形式不变性。∵，，∴。例8．设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求.解：，7