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1、对2008广东高考理科数学试卷第21题的评析焦晓东广东惠阳中山中学广东惠州516211【摘要】本文依据《2008年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学)》、《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》及《新课程标准》对2008广东高考理科数学试卷第21题所体现的背景、功能及今后中学数学教学与复习作出合理化的建议。【关键词】广东高考;理科数学;评析;功能1问题的提出2008年广东高考理科数学试卷出台以后,第21题引起中学数学界许多议论，因为这道题似乎有超纲嫌疑。现将这道题抄录如下：设为实
2、数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求数列的前项和．2该题的背景2.1高等数学背景该题的本质就是利用方程的特征根求解二阶递推数列的通项公式,因此有着浓厚的高等数学味道。所以,大部分中学数学教师认为该题超纲,也以此为据。诚然,此题若运用高等数学中的公式解,就明显失去了对学生数学思想方法的考查,变成了是否记住公式的考查,也就失去了今天大家对它的讨论。但是该题的初等解法可以说与高等数学几乎没有关系。2.2新课标背景《新课程标准》把等差数列和等比数列作为重要内容。“强
3、调在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,即突出了问题意识,也有助于对数学本质的认识。”[1]而要解决好该题,一定要在该问题中发现蕴含在其中的等差数列与等比数列。因此,它有着深厚的新课标味道。2.3教科书背景专家一再告诫并且我们都知道,高考试题来源于课本又高于课本。那么,课本中能否找到该题的原型呢?试看:人教社A版必修（5）B组第6题:“已知数列{}中,，对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?”[2]拿试题与课本中的这道习题作一比较,发现题型完全一致,无非课本中的习题中项的系数是具体的数值,
4、试题中项的系数是有关的字母，而字母的运算是高考考查运算能力的重点。此时,所有人都不再为是否超纲而争执。3试题评析《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》指出[3],命题的指导思想是:“坚持‘有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育’的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本
5、质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能”。那么该题具有这样的考查功能吗?我们先看解答过程:解1）由求根公式，不妨设，得，2）由与得(3.1)(3.2)i)若==0时,则(3.3)ii)若有且只有一个为0时,不妨设则由(3.1)知故数列{}是以为首项,以为公比的等比数列,故=(3.4)iii)若时,则有数列{}是公比为、首项为的等比数列,因此,从而(3.5)两边除以得(3.6)所以数列{}是以为首项以1为公差的等差数列由等差数列的通项公式知:,故(3.7)iv)若且时,数列{},{}分别是公比为、,首项为,的等比
6、数列,所以由等比数列的通项公式得:(3.8)(3.9)联立(3.10)两式相减得,从而，，,故(3.11)综上:由i)ii)iii)iv)得:（3）把，代入，得，解得,所以设,则,两式相减得=由以上解答过程知,该题很好的体现了以下几个方面的要求:3.1新课标的理念新课标有十大基本理念[1],在此不再一一叙述。在该题中体现的基本理念如下:首先,体现的第一个理念是“构建共同基础,提供发展平台”。因为我们从第一问的解答知,只要考生能答到该处,一般可以解答出该题。所以,该题的入手点很好的体现了这个理念。其次,体现的第二个理念
7、是提供多样课程,适应个性选择。“随着时代的发展,各行各业都对公民的数学素养提出了更高的要求,不同行业对数学的要求不尽相同,学生的兴趣、志向与自身条件也不相同。”[1]这就明确指出,不同人学习不同数学。当然,考查时,对不同的人就有不同的考查方法。该题第二、第三问的考查便是如此,所以很好的体现了这个理念。最后,“倡导积极主动、改进学习方法,使学生学会学习”。是高中数学课程追求的另一理念。[1]在教科书的数列章节中的阅读材料中,提到斐波那契数列,最后还强调“有兴趣的同学可以通过浏览互连网或查阅相关书籍搜集资料,进一步了解和
8、研究斐波那契数列”。这一道题恰是斐波那契数列的推广,故集中的体现了这一理念。3.2全方位的考查功能我们经常会遇到一个问题:“高考考什么?”依据《大纲》与《说明》,最简单最直接的回答就是考基础知识、考数学思想方法、考基本能力、考个性品质。这道题到底是如何考查以上几个方面的呢?3.2.1考查知识由该题第一问的解答看出,只要知道一元二次方程的求根公式
