金融时间序列分析(非平稳部分)

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1、第1节有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。一、维纳过程维纳过程(WienerProcess)也称为布朗运动过程(BrownianMotionProcess)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：(a)W(0)=0；(b)对闭区间[0，1]上任意一组分割，的变化量：为相互独立的随机变量；(c)对任意，有(5.2.1)则称为标准维纳

2、过程（或标准布朗运动过程）。从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有：(5.2.2)即标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布。将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令称是方差为的维纳过程。显然，满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：对任意，有根据上式，显然有(5.2.3)利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于，在任意时刻t，有分布：更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实

3、际应用中扮演着十分重要的角色。二、有关随机游动的极限分布1、泛函中心极限定理29泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广，它是研究非平稳时间序列过程的重要工具。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾一下概率论与数理统计中研究平稳随机变量序列的中心极限定理：如果随机变量序列：独立同分布，且有令，则(5.2.4)中心极限定理表明：独立同分布的随机变量之和（或样本均值）为正态分布。对于白噪声序列，由于根据中心极限定理，有(5.2.5)下面，我们根据白噪声序列，构造一新统计量：设r为闭区间[0，1]上的任一实数，记为不超过rN的最大

4、整数，对于给定白噪声序列：，取其前项构造统计量：(5.2.6)显然为一样本均值，当N固定，r在闭区间[0，1]上变化时，是定义在[0，1]上的一个阶梯函数，其具体表达式为：(5.2.7)将乘上，再写成如下形式：由前述中心极限定理，有另一方面，对于[0，1]上的任意实数r，有因此，有如下极限分布：29(5.2.8)对照(5.2.3)式，有这表明，的极限分布与一般维纳过程的分布是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。泛函中心极限定理：设序列：独立同分布，且满足r为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本，取其前项构造统

5、计量：那么，当时，统计量有如下极限：(5.2.9)在(5.2.9)式中令r=1，有(5.2.10)与(5.2.5)式对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游动的极限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。2、有关随机游动的极限分布设序列遵从随机游动过程：（5.1.4）其中，独立同分布，且，=0。则以下极限成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。证明过程中，可用到下列关系：29，，，证明：（1）由(5.2.10)式，显然成立。（2）因为整理得两

6、边求和并除以N，得又因为代入上式，有根据大数定理，有注意(5.2.10)式，从而有（2）证毕。(3)根据(5.2.7)式知，是[0，1]上的一个阶梯函数，再由（5.1.4），有因此可表示为(5.2.11)求阶梯函数在[0，1]上的积分，有两边同乘，得由于29根据连续映射定理¬连续映射定理是指：若，是连续泛函，则有：。，则有（3）证毕。（1）因为所以利用（1）和（3）的结论，有（4）证毕。（2）因为根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得到（5）证毕。（3）因为29根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用

7、连续映射定理，得（6）证毕。三、有关单位根过程的极限分布1、一般形式的泛函中心极限定理前面所介绍的泛函中心极限定理是针对独立同分布序列而言的。如果序列不是白噪声序列而是一般的平稳序列，则上述结论就不再成立。此时，有更一般形式的泛函中心极限定理。一般形式的泛函中心极限定理：设序列：为一平稳过程，它有无穷阶MA表示形式：(5.2.12)其系数满足条件：(5.2.13)比绝对收敛条件略强，任意平稳ARMA过程都满足它。独立同分布，且满足贝弗里奇-纳尔逊分解Beveridge-Nelson(1981)提出，有，，其中且。故为一平稳过程

8、。r为闭区间[0，1]上的任一实数，记，构造如下统计量：(5.2.14)那么，当时，统计量有如下极限：(5.2.15)显然，一般形式的泛函中心极限定理是前述泛函中心极限定理的推广。根据该定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。2、有关单位根过程的极限分布假设序列遵从单位根过程