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1、《计算机数学基础（2）》教学辅导5《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14常微分方程的数值解法一、重点内容1.欧拉公式：局部截断误差是O(h2)。2.改进欧拉公式：预报－校正公式：即或表成平均的形式：改进欧拉法的局部截断误差是O(h3)3.龙格－库塔法二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h3)三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h4)四阶龙格¾库塔法公式：其中k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)四阶龙格－
2、库塔法的局部截断误差是O(h5)。二、实例例1用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。解h=0.2,f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有5《计算机数学基础（2）》教学辅导5y(0.2)»y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2,y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144
3、，有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000例2用欧拉预报－校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。解步长h=0.2,此时f(x,y)=－y－y2sinx欧拉预报－校正公式为：有迭代格式：当k=0，x0=1,y0=1时，x1=1.2，有当k=1，x1=1.2,y1=0.71549时，x2=1.4，有=0.52608例3写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)
4、的近似值。计算过程保留4位小数。解此处f(x,y)=8－3y,四阶龙格－库塔法公式为其中k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为：其中k1=8－3yk；k2=5.6－2.1yk；k3=6.32－2.37yk;k4=4.208＋1.578yk5《计算机数学基础（2）》教学辅导5当x0=0,y0==2,例4设初值问题，证明用梯形公式求解该问题的近似解为证明解初值问题的梯形公式为(k=0,1,2,…,n
5、－1)整理成显式(k=0,1,2,…,n－1)用k=n,n－1,n－2,…,1,0反复代入上式，得到例5选择填空题：1.取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题的计算公式是答案：解答：欧拉法的公式此处，迭代公式为2.改进欧拉法的平均形式公式是()(A)(B)5《计算机数学基础（2）》教学辅导5(C)(D)答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式。三、练习题1.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是()(A)O(h2)(B)O(h3)(
6、C)O(h4)(D)O(h5)2.改进欧拉预报－校正公式是改进欧拉法平均形式公式为yp=,yc=，yk+1=试说明它们是同一个公式。3.设四阶龙格－库塔法公式为其中k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)取步长h=0.3，用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式是。4.取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题5.试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代
7、误差不超过10－5。6.对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。7.用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。8.证明求解初值问题的梯形公式是yk+1=yk+,h=xk+1－xk(k=0,1,2,…,n－1)，四、练习题答案1.(A),(B),(D)5《计算机数学基础（2）》教学辅导51.;yk＋;只需将yc,yp的表达式代入到yk+1中，就得到预报－校正公式。3.提示：其中k1=1－
8、yk；k2=0.85(1－yk)；k3=0.8725(1－yk)；k4=0.73825(1－yk)4.y1=1，y2=1.005000，y3=1.010025，y4=1.025175，y5=1.045679，y6=1.07821，y7=1.103976，y8=1.142615，y9=1.188320，y10=1.2417945.计算公式为6.欧拉法：y(0.2)»1.00000;y(0.4)»1.08000欧拉预报－校正公式：y(0.2)»1.02084;y(0.4)
