一、可对角化的概念

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1、一、可对角化的概念二、可对角化的条件§7.5对角矩阵三、对角化的一般方法第七章线性变换§7.5对角矩阵定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换　可对角化.矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵，使为对角一、可对角化的概念§7.5对角矩阵1.(定理7)设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化　有个线性无关的特征向量.证：设在基下的矩阵为对角矩阵则有二、可对角化的条件就是的n个线性无关的特征向量.§7.5对角矩阵反之，若有个线性无关的特征向量那么就取为

2、基，则在这组基下的矩阵是对角矩阵.2.(定理8)设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.证：对k作数学归纳法.当时，　线性无关.命题成立.§7.5对角矩阵假设对于来说，结论成立.现设　　　　　为的互不相同的特征值，是属于的特征向量，即以乘①式的两端，得②设①又对①式两端施行线性变换，得③§7.5对角矩阵③式减②式得由归纳假设，线性无关，所以但互不相同，所以将之代入①，得故　线性无关.§7.5对角矩阵特别地，(推论2)在复数域C上的线性空间中，3.(推论1)设　为n维线性空间V的一个线性变换，则可对角化.如果线性

3、变换的特征多项式没有重根，则可如果的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，对角化.§7.5对角矩阵特征值的线性无关的特征向量，则向量　线性无关.4.(定理9)设　为线性空间V的一个线性变换，是的不同特征值，而是属于证明：首先，的属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征向量.§7.5对角矩阵令由④有，设④若有某个　则是的属于特征值的特征向量.而是互不相同的，由定理8，必有所有的§7.5对角矩阵即而线性无关，所以有故线性无关.为　的特征子空间.5.设　为n维线性空间V的一个线性变换，为全部不同的特征值，则　可对角化§7.5对角矩阵6.设　为

4、n维线性空间V的一个线性变换，若在某组基下的矩阵为对角矩阵则1）的特征多项式就是2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是　的全部特征根(重根按重数计算).§7.5对角矩阵三、对角化的一般方法1°求出矩阵A的全部特征值2°对每一个特征值　，求出齐次线性方程组设为维线性空间V的一个线性变换，为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A.步骤:的一个基础解系（此即　的属于的全部线性无关的特征向量在基　　　　　下的坐标）.§7.5对角矩阵3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角

5、矩阵.而且有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵.§7.5对角矩阵下的矩阵为基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基§7.5对角矩阵解：A的特征多项式为得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得故其基础解系为：所以，是　的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.§7.5对角矩阵再解齐次线性方程组　得故其基础解系为：所以，是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.线性无关，故可对角化，且在基下的矩阵为对角矩阵§7.5对角矩阵即基到　　　　的过渡矩阵为§7.5

6、对角矩阵例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为§7.5对角矩阵对于特征值2，求出齐次线性方程组对于特征值－4，求出齐次方程组的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）的一个基础解系:§7.5对角矩阵令则所以A可对角化.§7.5对角矩阵是对角矩阵（即D不可对角化）.项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能练习：在　　　　　中,求微分变换D的特征多解：在　　中取一组基：则D在这组基下的矩阵为§7.5对角矩阵于是∴D的特征值为0（n重）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D

7、不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量，它小于　　的维数n（＞1）.§7.5对角矩阵