高中物理竞赛讲义-磁场典型例题解析

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1、磁场典型例题解析一、磁场与安培力的计算【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。解题过程从略。【答案】大小为8.0×10−6T，方向在图9-9中垂直纸面向外。【例题2】半径为R，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。【解说】本题有两种解法。方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ，则弧长L=θR。因为θ→0（在图9

2、-10中，为了说明问题，θ被夸大了），弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F=BIL，其两端受到的张力设为T，则T的合力ΣT=2Tsin再根据平衡方程和极限=0，即可求解T。方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解…【答案】BIR。〖说明〗如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。〖学员思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M，其它条件不变，再求环的内张力。〖提示〗此时环的张力由两部分引起：①

3、安培力，②离心力。前者的计算上面已经得出（此处I==ωλR），T1=BωλR2；后者的计算必须应用图9-10的思想，只是F变成了离心力，方程2T2sin=Mω2R，即T2=。〖答〗BωλR2+。【例题3】如图9-11所示，半径为R的圆形线圈共N匝，处在方向竖直的、磁感强度为B的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴OO′转动。一个质量为m的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流I后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。【解说】这是一个应用安培力矩定式的简单问题，解题过程从略。【答案】arctg。二、带电粒子在匀强磁场中的运动【例题4】电子质量

4、为m、电量为q，以初速度v0垂直磁场进入磁感强度为B的匀强磁场中。某时刻，电子第一次通过图9-12所示的P点，θ为已知量，试求：（1）电子从O到P经历的时间；（2）O→P过程洛仑兹力的冲量。【解说】圆周运动的基本计算。解题过程从略。值得注意的是，洛仑兹力不是恒力，故冲量不能通过定义式去求，而应根据动量定理求解。【答案】（1）；（2）2mv0sinθ。【例题5】如图9-13所示，S是粒子源，只能在纸面上的360°范围内发射速率相同、质量为m、电量为q的电子。MN是一块足够大的挡板，与S相距=L。它们处在磁感强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中

5、，试求：（1）要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大？（2）若发射速率为，则电子击打在挡板上的范围怎样？【解说】第一问甚简，电子能击打到挡板的临界情形是轨迹与挡板相切，此时rmin=；在第二问中，先求得r=L，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远”点。值得注意的是，O点上方的最远点和下方的最远点并不是相对O点对称的。【答案】（1）；（2）从图中O点上方距O点L处到O点下方距O点L处的范围内。【例题6】如图9-14甲所示，由加速电压为U的电子枪发射出的电子沿x方向射入匀强磁场，要使电子经过x下方距O为L且∠xOP=θ的P点，试讨

6、论磁感应强度B的大小和方向的取值情况。【解说】以一般情形论：电子初速度v0与磁感应强度B成任意夹角α，电子应做螺旋运动，半径为r=，螺距为d=，它们都由α、B决定（v0=是固定不变的）。我们总可以找到适当的半径与螺距，使P点的位置满足L、θ的要求。电子运动轨迹的三维展示如图9-14乙所示。如果P点处于（乙图中）螺线轨迹的P1位置，则α=θ，B∥；如果P点处于P2或P3位置，则α≠θ，B与成一般夹角。对于前一种情形，求解并不难——只要解L=kd（其中k=1，2，3，…）方程即可；而对后一种情形，要求出B的通解就难了，这里不做讨论。此外，还有一种

7、特解，那就是当B⊥时，这时的解法和【例题4】就完全重合了。【答案】通解不定。当B∥时，B=（其中k=1，2，3，…）；当B⊥时，B=。〖问题存疑〗两个特解能不能统一？三、带电粒子在电磁复合场中的运动一般考虑两种典型的复合情形：B和E平行，B和E垂直。对于前一种情形，如果v0和B（E）成θ角，可以将v0分解为v0τ和v0n，则在n方向粒子做匀速圆周运动，在τ方向粒子做匀加速运动。所以，粒子的合运动是螺距递增（或递减）的螺线运动。对于后一种情形（垂直复合场），难度较大，必须起用动力学工具和能量（动量）工具共同求解。一般结论是，当v0和B垂直而和E

8、成一般夹角时，粒子的轨迹是摆线（的周期性衔接）。【例题7】在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿−z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量