§4 基变换与坐标变换

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1、§4基变换与坐标变换一、向量的形式书写法二、基变换三、坐标变换引入我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，　　　　　为V中的一组向量，，若则记作则记作2、V为数域P上n维线性空间，；为V中

2、的两组向量，若注：在形式书写法下有下列运算规律1)若线性无关，则2)；　　　　　为V中的两组向量，矩阵，则；；；若线性无关，则1、定义设V为数域P上n维线性空间，　　　　　；为V中的两组基，若①即，二、基变换则称矩阵为由基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵；称①或②为由基　　　　　到基的基变换公式．②2、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若　　　　　　　　　　　为V的两组基,且由基　　　　　　　　　　　的过渡矩阵为A，即又由基　　　　　　　　　　　也有一个过渡矩阵,设为B，即③④比较

3、③、④两个等式，有都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设　　　　　为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，由A可逆，有即，　　　　也可由　　　　　线性表出.故　　　　　线性无关，从而也为V的一组基.并且A就是　　　　　　　　　　的过渡矩阵.2）若由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A,则由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A-1.3）若由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A,由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为B，则由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为AB.事实上,若则有，三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空

4、间为V中的两组基，且设　　且ξ在基　　　　　与基下的坐标分别为　　　　　　与　　　　　　，即，与则或⑦称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥例1在Pn中，求由基到基过渡矩阵．其中解：∵的过渡矩阵及由基到基的并求向量在基下的坐标.而，∴到基由基的过渡矩阵为故，由基到基的过渡矩阵为在基　　　　　下的坐标就是设　在基　　　　　下的坐标为　　　　　　，则所以　在基　　　　　下的坐标为例2在P4中，求由基到基的过渡矩阵，其中解：设则有或，从而有∴由基到基的过渡矩阵为练习：已知　　的两组基：求由基　　　　　　　　　　　　　　的过渡矩阵，并求矩阵

5、　　　　　在基　　　　　　下的矩阵.解：设A在基　　　　　　下的坐标为则即A在基　　　　　　下的坐标为作业P274９.３)10.