2006年广州卡西欧杯高二数学竞赛试题

《2006年广州卡西欧杯高二数学竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、智浪教育---普惠英才文库2006年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）（2）（3）（4）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）（6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。例如：，，，，，，，，，等等．（7）（8）（9）dhho，maths（10）第（10）题参考解答：设，则．依题意有，，即，即．故．当且仅当即时取等号．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．智浪教育---普惠英才文库（11）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）∵，∴最小正周期

2、，单调递减区间为．（Ⅱ）令，则，．要使在上恰有两个的值满足，则，解得．（12）（本小题满分15分）解法一：（Ⅰ）因平面，面，故面面．因四边形是矩形，故．因面面，故面．因面，故平面平面．（Ⅱ）取中点，连结、．因是的中点，故．所以或它的补角是与所成的角．易得，，，智浪教育---普惠英才文库故．故与所成角的余弦值为．（Ⅲ）假设点存在，过点作于，因为面面，面面，ADBCQ21G所以面，即．如图，易知，1则．故存在一点，当时使点D到平面PAQ的距离为1．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如

3、图所示的空间直角坐标系，∵，，∴，，，，，．QAPDCBExyz∵，，由，∴与所成角的余弦值为．……10分（Ⅲ）假设存在点符合条件，则，．又设平面PAQ的法向量为，智浪教育---普惠英才文库由即取，则是平面PAQ的一个法向量．由题意有，即，解得．故存在一点，当时使点D到平面PAQ的距离为1．（13）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）：，　：，解得，．于是，．所以．易知，故，．（Ⅱ），所以当或时，取得极值．因为当时，，故在上是减函数．所以当时，取得最大值．智浪教育---普惠英才文库（14）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）当时，各式相加得，求

4、得．又当时，满足上式，故．（Ⅱ）　　　　　　　　．（Ⅲ），，当时，；当时，；当时，；猜想当时，．以下用数学归纳法证明:①当时，左边右边，命题成立．②假设当时，，即．当时，，命题成立．智浪教育---普惠英才文库故当时，．综上所述，当时，，当时，，当时，．（15）（本小题满分20分）解：（Ⅰ）因的图象关于点对称，故的图象关于原点对称．故，易得，因为时，有极值，所以时，也有极值．故．∴，于是．又由得，由此解得，，∴．（Ⅱ）设这两个切点分别为，并且，，依题意有……(*)因且，故．由(*)式得，即．故，解得或．智浪教育---普惠英才文库同理可

5、得或．又因为当与同时成立时与(*)式矛盾，所以或．故，或，．即所求的两点为或．（Ⅲ）∵，故当或时，；当时，．所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为．因，故．即，故；因，，，，故，故．故．