李尚志数学实验ppt

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1、数学实验李尚志教授中国科学技术大学数学系2021/6/152021/6/15何谓“数学实验”对数学进行折腾连蒙带猜找规律从问题出发学生自己动手、动眼、动脑借助于计算机（成千上万次折腾）尝试数学的探索、发现和应用2021/6/15实验一：微积分基础函数图象：sin(x)及其Tylor逼近。sin(x)+sin(3x)/3+…sin(1/x)在x=0附近的性状。2021/6/15Sin(x)及其Tylor逼近2021/6/15sinx+sin3x/3+…+sinnx/n2021/6/15Sin(1/x)在x=0附近2021/6/15d=Table[{1/n,Sin[n]},{n,1,1000}

2、](定义点集）ListPlot[d]（画出点集）点集中显现出什么曲线？画数据点集合2021/6/15Table[{1/n,Sin[n]},{n,1,10000}]2021/6/15实验二:的计算想一想：怎样算？当一回祖冲之！2021/6/15圆的面积单位圆的面积等于计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000,10000,...2021/6/15S小S大2021/6/15数值积分：2021/6/15无穷级数法arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-.../4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1

3、/9-…收敛太慢！

4、x

5、应当比1小很多，级数收敛才快。/4=arctan1/2+arctan1/3/4=4arctan1/5-arctan1/2392021/6/15蒙特卡洛方法求出S=/4占S正方形ACBO的比例。随机投点P(x,y)P在圆内x2+y21/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值ASCBO2021/6/15某次随机投点的结果2021/6/15实验三:最佳分数近似值问题：祖冲之的圆周率为A.3.141592，B.355/113?上述哪一个值更佳？2021/6/15评选最佳何为最佳？误差d小，分母v小。选法1：递增选v，使d递减。选法2：递增选v，使vd递减。选

6、法3：按v2d从小到大选十佳。2021/6/15快速寻佳2021/6/15音阶的频率比声音越高，频率越高。1，2，3，4，5，6，7，i频率各是多少？高8度i是1的2倍。其余的音是1的几倍？十二平均律：频率等比上升，每半度升高21/12。比例都是无理数。但为了音乐和谐，比例应是简单分数。矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！2021/6/15音阶的频率比高8度i是1的2倍。其余的音是1的几倍？十二平均律：频率等比上升，每半度升高21/12:1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2比例都是无理数:

7、1,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2但为了音乐和谐，比例应是简单分数怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值：1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,22021/6/15实验八:天体运动万有引力定律-->开普勒定律太阳位置(0,0)时刻ti:天体位置(xi,yi),速度(vix,viy)ri2=xi2+yi2,加速度大小

8、ai

9、=k/(ri2),加速度矢量（aix,aiy)=(-

10、ai

11、xi/ri,-

12、ai

13、yi/ri)ti+1=ti+d:vi+1,x=vix+aixd,vi+1,y=viy+aixd;xi+1

14、=xi+vi+1,xd,yi+1=yi+vi+1,yd从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道2021/6/15万有引力定律-->开普勒定律2021/6/15不同的初速度对轨道的影响2021/6/15凹面镜的正确形状画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹面镜截面曲线：从顶点P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到P1。一般的，设曲线已到Pi，则反射光线为PiF。按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到Pi+1点。重复此过程。观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。2021/6/15球面镜的反射2021/6/15球面镜的反射正确的聚光镜形状2021/6

15、/15点电荷组的电力线与等势线从一个点电荷的位置P0向任一方向出发走一小段到P1点。利用库伦定律计算P1点电场强度方向，从P1点出发向此方向走一小段到P2点。重复此过程可画出一条电力线。换另外的方向出发可画出另外的电力线。同理可画出等势线。2021/6/15异种电荷同种电荷2021/6/15微分方程dy/dx=x2+y2的解2021/6/15实验七:几何变换(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,