第21讲[1].数学应用题

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1、第21讲数学应用题从1993年开始，数学科高考逐步加强了数学应用和实践能力的考查高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的

2、试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.一．函数应用题【例1】(2007年北京卷,理)如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量

3、的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．【分析及解】（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，18所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．【例2】(2007年福建卷,理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件

4、产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【分析及解】（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，18所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．【例3】（2006年福建卷,理）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米

5、/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析及解】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得18令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极

6、值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。这是一个汽车行驶耗油量的应用题,是用导数求函数的极值问题.【点评】本题已经给出了汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式,因此,只要用导数求函数的最值就可以了.【例4】(2005年，天津卷，理,文)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直

7、线l上，与水平地面的夹角为,试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）.【分析及解】如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300），直线l的方程为即设点P的坐标为（x，y），则由经过两点的直线的斜率公式由直线PC到直线PB的角的公式得18要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为由此实际问题知，所以tanBPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水

8、平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.【点评】这是一个解析几何与函数综合在一起的应用题,通过计算直线的斜率,一条直线与另一条直线的到角公式获得函数的表达式,求函数的最大值,可以用均值不等式,也可以用函数的单调性求解.本题也可用平面几何的知识求解.如图,设直线交直线与,当是过三点的圆的切线时,∠BPC最大.设此人距水平地面的高为可以求出,由切割线定理,,可解得二．数列应用题【例1】.(2004年福建卷，理)某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若