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时间：2018-08-01
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1、拉格朗日插值多项式1基函数要求通过共n+1个节点的插值多项式，可以通过求方程组的解得到。但这样不但计算复杂，且难于得到的简单表达式。考虑简单的插值问题：设函数在区间［a，b］上n＋1个互异节点的函数值为（j=0,1,…,n）求插值多项式，满足条件j=0,1,…,n；i=0,1,…,n由上式知，是=1的根，且∈，可令再由=1得于是n+1个n次多项式称为以为节点的n次插值基函数。n=1时的一次基函数为n=2时的二次基函数为2拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点上的函数值分别为，求n次插值多项式，满足条件j=0,1,…n令（5.2.
2、3）其中为以为节点的n次插值基函数，则是一次数不超过n的多项式，且满足，j=0，1，…，n再由插值多项式的唯一性，得式（5.2.3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。特别地，n=1时称为线性插值（图5-4（a）），n=2时称为抛物插值或二次插值（图5-4（b））。值得注意的是，插值基函数仅由插值节点确定，与被插函数f(x)无关。因此，若以为插值节点对函数f(x)≡1作插值多项式，则由式(5.2.3)立即得到基函数的一个性质≡1还应注意，对于插值节点，只要求它们互异，与大小次序无关。5-4例1已知y=，=4，=9，用线性插值求的近似值。解=2
3、，=3，基函数分别为插值多项式为所以例2求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插值多项式。解以＝-1，＝1，＝3，＝4为节点的基函数分别为插值多项式为
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