初等数论§2不定方程

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1、第二章不定方程§2.1二元一次不定方程2021/6/141一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：消去z得到方程这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2021/6/142小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正

2、确的是（）分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.2021/6/143二元一次不定方程的一般形式为注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。2021/6/144二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1若〔1〕式有整数解则〔1〕式的一切解可以

3、表示为（2）2021/6/145定理1的证明：证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。2021/6/146例2写出下列方程通解的形式：2021/6/147说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。问题：所有的二元一次方程都有解吗？定理2有整数解即为方程〔1〕的解。2021/6/148三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为一般地，利用辗转相除法，得到2021/6/149例3求方程的一个特殊解。解

4、：用7、4进行辗转相除法2021/6/1410例4求〔1〕的一切整数解。原方程可以化为先求〔3〕的一个整数解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，从而故〔3〕的一个整数解是〔2〕的一个整数解是原方程的整数解为2021/6/1411三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法例5求的一切整数解。即得到原方程的一个整数解从而所求的一切整数解为2021/6/1412三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法例6求的一切整数解。解：原方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为逐步往回代入，可

5、得2021/6/1413习题讲解：则其一切整数解可以表示为设是原方程的一个非负整数解，t的取值区间长度为从而得证。2021/6/1414（1）方程的一般解可以表示为在a个单位长度内，y一定有整数解。所以，一定存在某个，使得对此t，代入原方程，得2021/6/1415代入原方程，有假设存在非负整数解，则代入〔*〕，显然不成立。2021/6/14162021/6/1417§2.2多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1方程〔1〕有解2021/6/1418定理1方程假设上述条件对n-1是成立的，下证对

6、n也成立。令其一整数解为故该方程有解，记为进而得到是原方程的一个整数解。2021/6/1419二、多元一次不定方程求解的方法例1求不定方程x2y3z=7的所有整数解。（1）的解为（2）的解为把(4)代入(3),消去t,得注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.2021/6/1420一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.2021/6/1421二、多元一次不定方程求解的方法若d不能整除N，则原方程无整数解；否则，继续下面的步骤。(2)构造如下的n-1个方程(3)求出每个方程的所有整数解〔含参数

7、ti〕，再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，从而得到原方程的所有整数解。2021/6/1422例2求方程的一切整数解。原方程有整数解。列出如下的2个方程：(1)的解为(2)的解为把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为2021/6/1423(1)的解为(2)的解为把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。2021/6/1424例3把分解为三个分母两两互质既约正分数之和。2021/6/1425§2.3勾股数2021/6/1426人类一直想弄

8、清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什么秘密呢？我是地球人,Iamamanontheearth…﹌﹋﹠★◎▼♀♂2021