带位势项的半线性schrodinger方程的整体解

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1、浙江大学理学院硕士学位论文带位势项的半线性Schrodinger方程的整体解姓名：朱磊申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：方道元20090501浙江大学硕士学位论文摘要本论文考虑下述带位势的半线性Schr6dinger方程的柯西问题fNJiut+∑ejO字u+v(z)u+K(t，z)luln¨=0。lj=l乱I扛。：妒其中Ⅳ≥3，Q>0，勺∈{-1，1)，1≤J≤N，i=~／=I．y(z)，K(t，z)是已知的实值函数，t∈R，z∈RⅣ．妒∈H8(RⅣ)，8∈{o，1}H8(冗Ⅳ)是通常意义下的sobolev空间．未知函数u(t，x)是关于

2、t，x的复值函数．下面在不会引起混淆的情况下，我们将u(t，x)简记为u(t)．为了简便，我们令{勺b：1，．．．，N中，前Ⅳ+个tK+I，剩下Ⅳ一个取·1．其中Ⅳ++Ⅳ-=N．本论文分为四章．在第一章绪论中，我们大概地叙述了Schr6dinger方程的物理背景和一些相关的问题，并简单回顾了椭[]Schr6dinger方程整体解的主要结果以及本论文所涉及的一些概念和符号．同时叙述了本论文的主要结论．第二章是本论文的主要部分，我们利用类似椭[]Schr6dinger方程的做法，首先我们对前Ⅳ+和后Ⅳ’个方向分别得到Viral等式，然后利用径向乘子在

3、高维的衰减性分别推导出相应的弱色散性估计．最后通过对位势项V的条件加强，由弱色散性估计得到了我们想要gJStrichartz估计．由于算子IVl8和∑勺田+y@)不可交换，所以我们不能直接将我们得到Strichartz估计推广至其它1绚Sobolev间上。为此，在第二章的最后一部分，我们着重来解决椭圆情形下这一问题。解决的方法是通过对位势V的条件的进一步加强，使得V是算子△的一个扰动，从而推导出上述两算子的可交换性。在第三章中，我们利)罚Strichartz估计和压缩映射原理，分别对椭圆方程关于日8(兄Ⅳ)和L2(RⅣ)初值的局部适定性做了讨论．

4、在第四章中，由于K化x)含有时间项，我们仅利用方程解的质量守恒律，而没有用到H枷lton守恒律，证明了椭圆情形方程解的整体适定性．关键词：非椭圆半线性Schriidinger方程Strichartz估计整体解Ⅱ摘要———————————————————————————’————_—————————-————————————————————一AbstractInthepresentthesis，weconsidertheCauchyproblemofthefollowingnonellipticsemilinearSchr6dingerequati

5、onⅣ2撕+j∑=l勺劈让+yp)“+K(舌，z)l铭r让=oult：0=妒WhereN≥3，Q>0，勺∈{一1，1)，1≤歹≤N，i=、／，=i．y(z)，K(t，x)isagivenreal．valuedfunction．t∈R，z∈R_P∈日8(RⅣ)，8∈{o，1}H8(兄Ⅳ)istheusualSobolevspace．Theunknownu(t，x)isacomplex—valuedfunctionofrealvariablestandX．Weoftendenoteitbyu(t)forconvenience．Thethesisisd

6、ividedintofourchapters．Thefirstchapteristheintroduction．Ontheonehand，thephysicalbackgroundofSchrOdingerequationisbrieflydescribed·Ontheotherhand，themainresultofthethesisispresented．Thesecondchapteristhebodyofmythesis．Firstly，weshowafamilyofvirial-typeidentifiesfortheequation．

7、Asaconsequence，someweakdispersiveinequalitiesareproved．Finally，weapplythemtoproveStrichartzinequalities·hlthethirdchapter，weprovetheexistenceoftheuniquelocal—in。timesolutionsoftheellipticalequationcorrespondingtotheinitialdata日8(RⅣ)orL2(RⅣ)byStrichartzinequalitiesandtheBanach

8、’Sfixedpointtheorem．mthelastchapter，weprovethemainresultofthepresent