数学竞赛中的数论问题3

《数学竞赛中的数论问题3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、长沙市第七中学孙贤忠2-4数学竞赛中的数论问题（09-10-28）数论是研究自然数的一个数学分支.一、数学竞赛中数论问题的基本内容主要有8个定义、15条定理.定义1（带余除法）给定整数如果有整数满足，则和分别称为除以的商和余数．特别的，时，则称被整除，记作，或者说是的倍数，而是的约数．定义2（最小公倍数）非零整数的最小公倍数是能被其中每一个所整除的最小正整数，记作．定义3（最大公约数）设整数中至少有一个不等于零，这个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作．定理1对任意的正整数，有．定义4如果整数满足，则称与是互素的（以前也称为互质）．定

2、义5大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．定理2素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．定义6对于整数，且，若，则称关于模同余，记作若则称关于模不同余，记作．定理3（整除的性质）设整数为非零整数，（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，，则对任意整数，有；（4）若，且，则；13第页长沙市第七中学孙贤忠（1）若，且，则（2）若为素数，且，则或．定理4（同余的性质）设为整数，（1）若且，则；（2）若且，则且．（3）若，则对任意的正整数有，且；（4）若，且对非零整数有，则

3、．定理5设为整数，为正整数，（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则．定义7设为正整数，为大于2的正整数,是小于的非负整数，且．若，则称数为的进制表示．定理6给定整数，对任意的正整数，都有唯一的进制表示．定理7任意一个正整数与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余．定理8（分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的.定理9若正整数的素数分解式为则的约数的个数为，13第页长沙市第七中学孙贤忠的一切约数之和等于．定义8对任意实数，是不超过的最大整数．亦称为的整数部分，．定理10在正整数的素因子分解式中，素

4、数作为因子出现的次数是定理11如果素数不能整除整数，则．定理12设为素数，对任意的整数，有．定理13设正整数，则不大于且与互素的正整数个数为．定理14整系数二元一次方程存在整数解的充分必要条件是．定理15若是整系数二元一次方程的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为二.数学竞赛中数论问题的重点类型主要出现8类问题.：1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；2.约数与倍数、素数与合数；3.平方数；4.整除；5.同余；6.不定方程；7.数论函数、高斯函数、欧拉函数；8.进位制（十进制、二进制）.13第页长沙市第七中学孙贤忠三.例题选讲例1有100盏电灯，排

5、成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100.每盏灯由一个拉线开关控制着.最初，电灯全是关着的.另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？讲解（1）直接计算100次记录，会眼花缭乱.（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有

6、几个正约数就被拉几次.（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：0123456789关开关开关开关开关开灯被拉奇数次的亮！（4）哪些数有奇数个约数：平方数.（5）1～100中有哪些平方数：共10个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个还亮.例2用表示不大于的最大整数，求.讲解题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：（1）分子是那些数相加，求出和来；由，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几

7、个1～3650365个366～7311366个732～10972366个1098～14633366个1464～18294366个1830～20045175个13第页长沙市第七中学孙贤忠（2）除法谁除以366，求出商的整数部分.原式命题背景2004年有12个月、366天.例3证明对任意正整数，分数不可约.证明1（反证法）假若可约，则存在，①使从而存在，使消去，，得④的⑤由（1）、（5）矛盾，得.解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法（2）式④是实质性的进展，表明可见.由此获得2个解法.证明2设.存在，使13第页长沙市第七中学孙贤忠消去，②

8、×3-①×2，得③得.证明3由得.证明4④⑤.解题分析：第④相当于①-②；：第⑤相当于②-2（