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1、代数几何原理PHILLIPGRIFFITHSJOSEPHHARRISXianXian译警告:仅限学习研究,严禁商业目的!前言代数几何是数学中最古老和最高度发达的学科。它与射影几何,复分析,拓扑,数论以及其它目前数学上活跃的领域密切相关。还有,近年来,代数几何在风格和语言上都经历了巨大的变化。由于这些原因,这个学科得到了“难入门”的说法。本书对理论的某些主要一般性结果做了介绍,以及——其实特别强调了——应用于有意义例子的研究和计算工具的发展。很多原则指导了本书的酝酿。其一是只讲述对研究具体的几何问题和特殊类型的代数簇所必须的一
2、般性的方法,这些是本书的中心。其二是在一般性理论和研究例子之间应该有一个取舍,就象目录所说明的一样。代数几何的主旨为在例子的纷繁复杂和一般性结构的对称性之间提供平衡特别重要;我们希望在课题和讲述顺序上反映这个关系。第三个基本原则是本书应该是自足的。特别是,任何要利用到的具体结果都将完全证明。在与代数几何不同的学科中,学生遇到的困难是大量的交叉引用,这也是自足化的一方面原因。类似地,我们避免暗中提到——或只陈述不证明——有关结果。本书决不是代数几何的概述,而是用详细而具体的几何问题来发展一套有效的工具。对本主题,我们的方法最初
3、是解析的:第零和第一章讨论复流形理论的基本方法和结果,特别强调了可应用于射影簇的结果。从第二章开始讨论Riemann曲面和代数曲线,接着第四和第六章分别讨论代数曲面和二次线丛,沿着经典的路线,我们逐渐增加几何的内容。第三和第五章继续讨论解析方法,推进到复流形中更专门的课题。几个重要的课题被完全忽略了。最重要的是代数簇的算术理论,模问题以及奇异性。在这些方面,这里没有提供必要的方法。其它课题,比如单值化,自同构形式或单值性,混合Hodge结构也被忽略,虽然大部分方法这里都有。致谢略。PHILLIPGRIFFITHJOSEPHH
4、ARRIS1978年5月Cambridge,Massachustts目录ii目录第零章基础知识11.多复变初步Cauchy公式及应用1多复变理论5Weierstrass定理和推论6解析簇112.复流形复流形13子流形和子簇16DeRham和Dolbeault上同调19复流形上的运算243.层与上同调起源:Mittag–Leffler问题30层31层上同调33DeRham定理38Dolbeault定理404.流形的拓扑闭链的相交44Poincar´e对偶47解析闭链的相交545.矢量丛,联络和曲率复矢量丛和全纯矢量丛58度量,联络
5、和曲率636.紧致复流形上的调和理论Hodge定理71Hodge定理的证明I:局域理论75Hodge定理的证明:整体理论82Hodge定理的应用90目录iii7.K¨ahler流形K¨ahler条件96Hodge恒等式和Hodge分解100Lefschetz分解108参考文献(中文)116第一章复代数簇1171.除子和线丛除子118线丛120线丛的陈类1262.一些消没定理和推论Kodaira消没定理134超平面截面上的Lefschetz定理141定理B144(1;1)类上的Lefschetz定理1463.代数簇解析簇和代数
6、簇149簇的次数154代数簇的切空间1574.Kodaira嵌入定理线丛和到射影空间的映射158胀开163Kodaira定理的证明1695.Grassmann流形定义173胞腔分解174Schubert运算176万有丛185Pl¨ucker嵌入187目录iv第二章Riemann曲面和代数曲线1911.预备知识Riemann曲面的嵌入191Riemann–Hurwitz公式194亏格公式197g=0;1的情形1992.Abel定理Abel定理——第一种描述202第一互反定律和推论205Abel定理——第二种描述208Jacob
7、i反演2113.曲线的线性系互反定律II216Riemann–Roch定理219典范曲线222特殊线性系I224超椭圆曲线和Riemann计数227特殊线性系II2334.Pl¨ucker公式伴随曲线235分歧237一般Pl¨ucker公式I240一般Pl¨ucker公式II243Weierstrass点245平面曲线的Pl¨ucker公式2485.对应定义和公式253空间曲线的几何260特殊线性系III2666.复环面和Abel簇Riemann条件269复环面上的线丛276目录vµ函数285Abel簇上的群结构292内在公
8、式2937.曲线及其Jacobi簇预备知识299Riemann定理303Riemann奇异性定理306特殊线性系IV314Torelli定理323参考文献(中文)325基础知识：多复变初步1第零章基础知识在本章,我们概述了多复变理论,复流形理论,拓扑和微分几何等基础知识,它们将在我们的代数
