(二)空间中的距离

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1、(二)空间中的距离谢党培八种距离1.点点距离；2.点线距离；重点*3.点面距离；4.平行线线距离；5.线面距离；6.面面距离；难点7.两异面直线距离；以上几种距离最终转化为两点间距离求解。8.球面上两点距离：过两点的大圆的劣孤以上七种距离之间有密切的联系，有些可以相互转化。如两平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线的线面间距离或平行平面间的距离都可转化成点到面的距离。3.重点掌握点到面的距离的求法：常用方法三种：直线法：由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长，关键是找出这一垂线及垂足的位置。转移法：将该点转移到所求平面的一个垂面内，利用面面垂直的性

2、质作两平面交线（常用≠）的垂线，此垂线垂直平面，从而将点到面的距离转化为点到线的距离。掌握指法：7.异面直线距离的求法：常用三种：（1）定义法求分垂线段长（2）转移法转化为求直线与平面的距离（3）函数相值法常用方法：（具体实施）直线法：作出要求的垂线段，再计算；关键：找出垂线的位置及垂足的位置。转移法：转移到更有利的位置上去处理；关键：如何转移（转化）及转化的依据。（多与平行有关）体积法：利用四面体的体积计算；等积代换。计算球面面积关键是求出两点在大圆上夹的劣弧所对的圆心角；三个重要环节，二作，作出所要求的距离，二证：证明所作为所求计算：例1.矩形ABC

3、D中，AB=3，BC=4，沿对角线AC，将其折成直二面角，求B、D两点间的距离。注意：翻折过程中的“变”与“不变”解在平面图形中∵ABCD为矩形AC为对角作DP⊥AC于P，BE⊥AC于Q则BQ=OP∵AB=3，BC=4∴AC=5∴DP=Rt△ADC中，DP⊥AC∴CD2=CP×CA∴CP==AQ∴PQ=5-2×=∴Rt△BQP中，BP2=BQ2+QP2=+=在空间圆形中∵面ADC⊥面ABC，DP⊥AC∴PD⊥平面ABC在Rt△DPB中DB2=DP2+BP2=+=∴

4、DB

5、=即BD两点间距离为例2.长方体AC1中，底面ABCD是边长为a的正方形，AA1=2

6、a，求点B到平面AB1C的距离。关键找出经过点B垂直于平面AB1C的平面及高线在长方体AC1中解法1：连结DB交AC于O。∵ABCD为正方形∴BD⊥AC且O为AC的中点∵AB1=CD1，O为AC中点∵BD∩B1O=O∴AC⊥平面B1BO又∵AC平面AB1C∴平面AB1C⊥平面B1BO交线为B1O作BH⊥B1O垂足为H则BH⊥平面AB1C的距离∴BH为点B到平面AB1C的距离Rt△B1BO中：OB=B1B=2a∴B1O=又BH·B1O=B1B·BO∴BH==∴点B到平面AB1C的距离为解法2（求体积法）设B到平面AB1C的距离为h在长方体AC1中，B1B⊥

7、底面为ABC1O为AC中点的B1⊥AC∵VB1-ABC=VB-AB1C∴S△ABC·h=S△ABC·B1B∴h=例3.三棱锥S-ABC的底面是等腰三角形，AB=AC=17，BC=16，侧面△BSC是等腰三角形，SB=SC，二面角S-BC-A等于60°，求点A到侧面BSC的距离。借助垂面找垂足一取BC中点D，连结AD，SD则∠SDA为所求二面角的平面角，即60°平面ADS⊥平面SBC，作AH⊥SDAH⊥平面SBCAH有公共底边的两等腰三角形，辅助线常在公共底边中点处作解：取BC中点D连结ADSD∵AB=AC∴AD⊥BC∵SB=SC∴SD⊥BC∴∠ADS为二

8、面角S-BC-A的平面角∴∠ADS？？∵CB平面SBC∴平面SBC⊥平面ADS交线为SD作AH⊥SD垂足为H∴AH⊥平面SBC∴AH为点A到平面SBC的距离△ABC中BC=16AB=AC=17D为CB中点∴BD=8∴AD2=AB2-BD2=172-82=152∴AD=15又Rt△AHD中∠AHD=90°∠ADH=60°AH=AD·sin60°=15·例4.正方体ABCD—A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为棱的中点，求点B到平面C1EAF的距离。可证：作BHAC1交AC1于H，∴BH平面AFC1EBH为所求距离，或用体积法关键找出经过点B垂直平面AF

9、C1E的平面，注意图形特征。解法在正方体AC1中，取AB的中点G连EG，BC1EF∵EF分别为A1B1，DC的中点∴AFGE为菱形∴FGAB∵B1B平面ABCD∴EG平面ABCD∴EFAB∵AFGE为菱形∴EFAC1又AC1∩AB=A∴EF平面ABC1∵EF平面AFC1E∴平面AFC1E平面ABC1交线为AC1作BHAC1垂足是为H∴BH平面AFC1E∴BH为点B到平面AFGE的距离Rt△ABC1中BH=解法二等体积法：连FB作EGAB于G，设三棱锥BAEF的高为h∵正方体A1C∴面A1B面AC∴EF面ACVE-AFB=VB-AEF等积法：连FBC1B的

10、距离为即点B到平面C1EAF∴h=h=∴====练习：已知长方形ABCD—A1B