微分几何 陈维桓 绪论-第一章-第二章讲稿

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1、目录绪论1内容简介1第一章预备知识2引言2§1.1三维欧氏空间中的标架2一、向量代数复习2二、标架3三、正交标架流形3四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换3§1.2向量函数5第二章曲线论6§2.1参数曲线6§2.2曲线的弧长9§2.3曲线的曲率和Frenet标架10§2.4曲线的挠率和Frenet公式14§2.5曲线论基本定理16§2.7存在对应关系的曲线偶21§2.8平面曲线21绪论几何学是数学中一门古老的分支学科.几何学产生于现实生产活动.“geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》).数学：

2、人类智慧的结晶，严密的逻辑系统.以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann).克莱因(Klein)关于变换群的观点.E.Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识.第二章：曲线论.第三章至第五章：曲面论.第六章：曲面上的曲线，非欧几何.第七章*

3、：活动标架和外微分.26第一章预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数的图像是平面上的一条曲线，二元函数的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系.所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§1.1三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：，，.向量相等的定义：大小和方向.

4、零向量：，.反向量：.向量的线性运算.加法：三角形法则，多边形法则.向量的长度.三角不等式.数乘.内积的定义：外积的定义.二重外积公式：；内积的基本性质：对称性，双线性，正定性.外积的基本性质：反对称性，双线性.26二、标架仿射标架.定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：.笛卡尔直角坐标系.坐标.内积和外积在正交标架下的计算公式.两点距离公式.三维欧氏空间和.三、正交标架流形取定一个正交标架(绝对坐标系).则任意一个正交标架被点的坐标和三个基向量的分量唯一确定：(1.6)其中可以随意取定，而应满足，(1.7)即过渡矩阵是正交矩阵.又因

5、为是右手系，，即矩阵(1.8,1.9)是行列式为1的正交矩阵.我们有一一对应：正交标架，.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点在两个正交标架和中的坐标分别为和26，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：(1.10)如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动下，若将正交标架变为，则空间任意一点和它的像点(均为在中的坐标)之间的关系式为(1.11)定理1.1中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于中的任意两个正交标架

6、，必有的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为等距变换.刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动.一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§1.2向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域到中的映射.设有定义在区间上的向量函数.如果都是的连续函数，则称向量函数是连续的；如果都是的连续可微函数，则称向量函数是连续可微的.向量函数的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即26，，(2.6

7、)，(2.7)其中是区间的任意一个分割，，，并且.(由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得.定理2.1(Leibniz法则)假定是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1)；(2)；(3).定理2.2设是一个处处非零的连续可微的向量函数，则(1)向量函数的长度是常数当且仅当.(2)向量函数的方向不变当且仅当.(3)设是二阶连续可微的.如果向量函数与某个固定的方向垂直，那么.反过来，如果上式

8、成立，并且处处有，那么向量函数必定与某个固定的方向垂直.证明(1)因为，所以是常数是常数.(2)因为处处非零，取方向的单位向量.则，其中连续可微.于是“”由条件知是常向量，.从而.“”由条件得