信号与系统连续时间lti系统的几种响应求解方法及例题

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1、连续时间LTI系统的响应1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。解:系统的特征方程为[例1]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t),t>0系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的

2、特征根为y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5[例2]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+4y'(t)+4y(t)=2f'(t)+3f(t),t>0系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=2;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=-1解得K1=2,K2=3[例2-4-3]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0+)=1,y‘(0+)=2,输入信

3、号f(t)=e-tu(t)，(1)求系统的零状态响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t>0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t>0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条

4、件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(3)求方程的全解解得A=5/2，B=-11/6二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解系统的零状态响应yf(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。2.系统的零状态响应卷积法求解系统零状态响应yf(t)的思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应——冲激响应3)利用线性时不变

5、系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf(t)。卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导由时不变特性由均匀特性由积分特性[例]已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2f(t)系统的冲激响应h(t)=2e-3tu(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。解：