《线性代数》课程简介

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1、《线性代数》课程简介061B0200线性代数2.5LinearAlgebra2.0-1.0预修课程：无面向对象：竺可桢学院及数学系以外的相关专业同学选用本课程是文理科公选课程。线性方程组的求解、矩阵理论、线性空间以及线性变换理论都是现代科学和技术的重要基础，而行列式是其中不可缺少的研究工具。二次型的研究刻画了几何的特性和需求。本课程主要围绕着上述内容展开并涵盖了全国硕士研究生入学统一考试的考纲中线性代数的所有内容。推荐教材或参考书：《线性代数（第二版）》，陈维新，科学出版社，2006年；《线性代数辅导》，胡金德，清华大学出版社，199

2、5年；《线性代数》，居余马，清华大学出版社，1995年。《线性代数》教学大纲061B0200线性代数2.5LinearAlgebra2-1预修课程：无面向对象：竺可桢学院及数学系以外的相关专业同学选用一、教学目的与基本要求：理解行列式的概念，能熟练运用行列式的基本性质以及行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用Laplace定理和Cramer法则解线性方程组。理解矩阵及其秩的概念，会用初等变换求其秩，掌握线性方程组有解、有唯一解以及无解的条件。掌握用行的初等变换求方程组解的方法。会熟练运用矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算法则,会计算

3、方阵乘积的行列式。理解矩阵可求逆的概念，掌握利用伴随矩阵和初等变换求出矩阵逆的方法。理解矩阵的初等变换和初等矩阵的关系,理解初等变换和矩阵乘法的关系，掌握矩阵可逆的充要条件。掌握分块矩阵的运算法则。理解线性空间、向量的线性组合和线性表示、向量组等价、向量组的线性相关线性无关以及向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质，能判断向量组的线性相关和无关性，会求出向量组的极大线性无关组、确定向量组的秩。掌握子空间的判断条件，会求出线性空间的基、维数以及向量在一组基下的坐标。理解基变换的概念，会求过渡矩阵、会用

4、坐标变换公式。掌握理解向量组的秩与矩阵秩的关系。理解非齐次线性方程组的解与其导出的齐次线性方程组的解之间的关系、掌握齐次线性方程组基础解系的求法以及写出非齐次线性方程组的通解。理解内积和欧氏空间的概念，掌握Schmidt正交化方法，理解标准正交基、正交矩阵的概念及其相关性质。了解线性变换的概念，会写出在基下的矩阵。理解线性变化和矩阵特定的一一对应关系。理解并能熟练计算矩阵的特征值和特征向量，掌握矩阵的特征值和特征向量的相关性质。理解相似矩阵的概念和性质。掌握矩阵可相似对角阵的充要条件，能熟练地利用之化矩阵为对角阵。理解实对称矩阵的特征

5、值和特征向量的性质，能熟练地用整交矩阵化实对称矩阵化为对角阵。理解二次型及其秩的概念，理解对称矩阵和二次型的一一对应关系，理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理，熟练利用配方法和正交矩阵化二次型为标准形。理解正定二次型与正定矩阵的概念，会判断二次型与或者矩阵是否正定。二、主要内容及学时分配：（重点讲授部分请打“▲”标记，每部分内容附思考题或练习题）（一）行列式与Cramer法则课时5+2数域与排列，▲行列式的概念和基本性质，▲行列式按行（列）展开定理，Laplace定理，Cramer法则解线性方程组（二）线性方程组课时3+1矩阵及

6、其秩的概念，▲用初等行（列）变换求矩阵的秩，▲消元法（矩阵初等行变换）解线性方程组（三）矩阵课时6+3矩阵的加、减、数乘、转置、▲乘、▲求逆运算，矩阵的行列式和行列式乘法法则，▲分块矩阵及其应用，▲初等变换与初等矩阵，▲利用矩阵的初等变换求逆。矩阵等价和等价标准形。（四）线性空间和线性变换课时10+5▲线性空间的概念，向量的线性组合和线性表示，▲向量组的线性相关和线性无关，等价向量组，基、维数和坐标概念，▲n维线性空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵，子空间，向量组的秩和矩阵的秩，▲线性方程组解的结构，欧氏空间，内积，Schmidt正交化

7、方法，▲标准正交基与正交矩阵及其性质，线性变换，线性变换关于一组基的矩阵，线性变换和矩阵的1—1对应关系。最小二乘法（选讲），映射，线性空间的同构（简介），线性变换关于其相关运算构成线性空间（选讲）（五）矩阵相似与对角化课时5+3相似矩阵的概念及性质，▲矩阵的特征值和特征向量的概念、性质和方法，▲矩阵可对角化的充分必要条件及其相似对角矩阵的确定，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，▲实对称矩阵可通过正交矩阵实施对角化，线性变换的特征值和特征向量与矩阵的特征值和特征向量的关系（选讲）。（六）二次型课时3+2二次型及其矩阵表示，合同变换与

8、合同矩阵，二次型的秩及惯性定理，二次型的标准形和规范形，▲用正交替换和配方法化二次型为标准形，▲二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。三、相关教学环节安排：由任课教师视教学内容、教学进度适当调整习题课安排或将习题课内容和教