华中师范大学2006至2007学年第一学期实变函数期末考试试题b

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1、华中师范大学2006至2007学年第一学期实变函数期末考试试题B课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师                题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15151060100得分一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、中全体子集构成一个代数。                              （ 对 ）2、若为Lebesgue可测集上的Lebesgue可测函数，且在上有积分值（即存在），则在上必Lebesgue可积。     

2、               （ 错 ）3、上的Cantor（三分）集具有连续势。                          （  对 ）4、可数个集的交集不一定是集。                               （ 错 ）5、若（，，）和都为可测集上的可测函数，                                                 且，，则，于。            （ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3=15分)1、Fatou引理（法都引理）答：设为Le

3、besgue可测集， ，，都是上的非负可测函数，则。2、非负可测函数的Fubini定理答：设是上的非负可测函数，则  （1）对几乎所有的，作为的函数是上的非负可测函数；（2）也是上的非负可测函数；（3）。3、Lebesgue控制收敛定理答：设是Lebesgue可测集，（，，）和都是上的可测函数，若（1），于；  （2）存在上的非负可积函数，使得 ，，。则 在上也Lebesgue可积，且。4、Egoroff定理（叶果洛夫定理）答：设，（，，）都是上的可测函数，若，于，则，存在可测子集，使得{}在上一致收敛于，而。5、有界闭区间上

4、的有界变差函数的定义答：设是定义在有界闭区间上的实函数，任给一个分割（划）记——称为关于分割（划）的变差，如果存在正常数，使得对一个分割（划），都有（即），则称为有界闭区间上的有界变差函数。三、计算题（共1题，共1×10=10分）设为中的零测集， ，求 。解：由题设，于，而在上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得。四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10=60分）1、设为中的有界集，证明：必存在中的一列单调递减的有界开集，使得。证明：因为为中的有界集，所以存在开球以及一列开集，使得，且取，由开集的性质知是有界开

5、集，且{}单调递减。2、设是有界闭区间上的单调函数，证明：在上的不连续点所组成的集为至多可数集。证明：不妨设是有界闭区间上的单调增函数，记为在上的不连续点所组成的集，由单调函数的不连续点的特点知，对任意，不妨设，必为的第一类间断点而且还是跳跃间断点，记为在点处的跳跃区间，我们还有对中任意两点和，，。于是，记，则必为至多可数集。   作到的映射如下：显然是到的单射（实际上还是一一映射），所以 ，故也是至多可数集。3、设是上的实值连续函数，则是上的Lebesgue可测函数。证明：由连续函数的局部保号性知  是上的开集，从而 是可测

6、集，所以 是上的Lebesgue可测函数。4、用Fubini定理证明：若为上的非负可测函数，则。证明：记，令，由题设易知也是上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理。5、设是定义在上的实值函数，满足，在上黎曼可积（即存在），若在上的广义黎曼积分绝对收敛（即绝对收敛），证明：在上Lebesgue可积，且 。证明：由题设知是上的可测函数，从而是上的可测函数，于是，由非负可测函数L积分的完全可加性以及L积分与黎曼正常积分的关系，并注意到可得（注：以上证明也可利用Levi定理得到）      又在上的广义黎曼积分绝对收

7、敛，即从而，即在上Lebesgue可积。      由于且单调递增，记，易知且，于是，由L—控制收敛定理得在上Lebesgue可积，且。6、设是Lebesgue可测集，，都是上的Lebesgue可积函数，若 ，且，证明：（1）在上非负可测；（2）用Fatou引理证明：。证明：（1）由可测函数的运算性质得 是上可测函数，又 ，从而，所以  在上非负可测。（2）由题设，再由Fatou引理得，即，从而 故  。