中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第11讲不等式的证明

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1、Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲11不等式的证明100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法．均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧．不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查．范例选讲例1已知，求证：讲解：可以用比较法：解1．因为，所以，，所以，所以，，命题得证．解2因为，所以，，所以，，由解1可知：上式>1．故命题得证．点评：比较法是证明不等式的基本思路．Doc5

2、21资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！例2证明不等式：，讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明．解1①时，不等式的左端=1，右端=2，显然1<2，所以，时命题成立．②假设时命题成立，即：．则当时，不等式的左端不等式的右端．由于=．所以，，即时命题也成立．由①②可知：原不等式得证．从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？观察原不等式，如果希望

3、直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用进行放缩，则可以达到目的，由此得解2．解2因为对于任意自然数，都有，所以，Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！从而不等式得证．点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察．如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标．例3设，若，，,试证明：对于任意，有.讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中

4、，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示.∵,∴,∴.∴当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得：，，∴Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！综上，问题获证.点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论．高考真题1.（1985年全国高考）设a(n＝1,2,3……),证明不等式对所有的正整数n都成立．2.（

5、1993年全国高考）如果关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α、β,证明:Ⅰ.如果

6、α

7、＜2,

8、β

9、＜2,那么2

10、a

11、＜4＋b且

12、b

13、＜4;Ⅱ.如果2

14、a

15、＜4＋b且

16、b

17、＜4,那么

18、α

19、＜2,

20、β

21、＜2.(93年(29)10分)3.（2001年全国高考）已知是正整数，且.(Ⅰ)证明；(Ⅱ)证明.[答案与提示：1．放缩法，利用；　2．略；3．利用排列数公式及二项式定理．]Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！