丘成桐演讲：三维流形结构

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1、三维空间的结构丘成桐哈佛大学数学系所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供先生们,女士们:今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。请允许我先从一些基本的观察开始。几何结构几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。我举几个例子：亏格0亏格1亏格2亏格3曲面的亏格就是环柄的数目。连通和构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。连通和连通和是通过删除圆盘并且钻孔曲面通过微分同胚粘合起来，于是例子通过连通和构造的亏格等于8的曲面曲面结构定理定理（曲面分类定理）任意闭的可定向的曲面是如下曲面

2、之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。共形几何为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些二维对象上的共形几何。例子在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。它们互相垂直。当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。地球共形几何庞加莱（Poincare）发现，我们可以在任何曲面上绘制经线（篮色曲线）与纬线（红色曲线）。共形结构我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或圆盘上展开。在这个过程中，经线与纬线保

3、持不变。曲面上共形结构的例子定理（庞加莱单值化定理）任意二维封闭空间必与一常高斯曲率空间共形等价。球面欧氏双曲曲面上的Hamilton方程我们可以通过曲率变动任意曲面。这种形变就是曲面的Hamilton的Ricci流。这种形变最后得到常曲率空间。这一方法是Hamilton发明的，可用来改变任意维空间。三维流形到目前为止，我们所讨论的空间只有两个自由度。与束缚于曲面上的虫子所看到的二维空间不一样，我们所生存的空间有三个自由度。虽然我们的三维空间看起来是平坦的，但还有许多自然而不平坦的三维空间。三维流形例子相空间在二十世纪初，庞加莱研究粒子动力学的相空间。相空间由，即粒子的

4、位置与速度组成。例如，如果一个粒子在二维曲面上以单位速度自由移动，那么这个粒子就有三个自由度。这就产生了一个三维空间M。纤维丛如果我们对M上每个点，赋以点，我们得到一个从M到的映射。当我们固定点x，v可以取任意单位向量,因此v可以在单位圆上自由移动。我们称M是上的纤维丛而它的纤维是单位圆。庞加莱猜想高维拓扑学可以说是从庞加莱的问题开始：庞加莱猜测一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个空间是否就是球面？这个问题不仅是一个著名的难题，而且是三维拓扑理论的中心问题。拓扑手术拓扑学家研究这个问题已经有一百多年历史了。主要的工具是切割与

5、粘合，或称手术，来简化一个空间的拓扑。拓扑手术在七十年代以前,主要的工具有Dehn引理，提供了将自相交叉的曲面简化为无交叉曲面的工具。拓扑手术定理（Dehn引理）如果存在从圆盘到三维空间的一个映射，且不在圆盘边界上自相交叉，那么存在另一个到三维空间的没有自交叉的映射，且限制在边界上与原来的映射相等。Dehn引理的一种基于极小曲面理论的版本是Meeks-丘成桐发现的，对以后的发展很有帮助。拓扑手术第二个工具是Haken引入的不可压缩曲面的构造。它被用来将三维流形切割成片。Walhausen用这一方法证明了重要的定理。(不可压缩曲面是一种嵌入曲面，且具有如下性质：如果一条闭

6、环路不能在曲面上收缩到一个点，那么它也不能在三维空间中收缩到一个点。)特殊曲面有几个重要的一维和二维空间在理解三维空间的过程中起了重要的作用。1.圆周Seifert构造了许多三维空间，可以写成圆周的连续族。上面提到的相空间是Seifert空间的一个例子。特殊曲面2.二维球面我们可以通过在两个三维空间上的各挖去一个实心球，然后沿着球面粘合起来。相反，Kneser和Milnor证明每个三维空间可以通过球面唯一分解成不可约分支。一个空间称为是不可约的，如果每个嵌入球面都是这个空间中的一个三维球的边界。特殊曲面2.环面Jaco-Shalen,Johannson的一个定理说，我们

7、可以通过沿环面切割作进一步分解。三维空间的结构几何化猜测(Thurston)：三维空间的结构是由如下的基本空间所合成的:(1).（庞加莱猜测）如果三维空间上每条闭环路都可以收缩到一个点，那么这个空间就是三维球面。(2).（空间形式问题）将三维球面上的点等同起来得到的空间。这由线性等距的一个有限群所支配，类似于晶体的对称。(3).Seifert空间及其类似于(2)用有限群得出的空间。(4).（Thurston猜测:双曲空间）边界由环面构成的三维空间，空间中每个二维球面都是某个球的边界，每个不可压缩的环面可以用适当的方法形变到边界；这种空间被