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1、研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem二、模糊集合（FuzzySets）现代数学可以在若干公理的基础上用集合来加以构筑，同样模糊集合为模糊理论及模糊控制提供了基础。本章的主要内容为：FromClassicalsetstoFuzzysets:BasicConceptsAssociatedwithAFuzzySet,OperationsonFuzzySets。2.1普通集合(经典集合或清晰集合Classical/CrispSet)集合定义(Definiti
2、onofSet):A):“能够明确区分本体与非本体的组合方式”；B):“具有某种特点的事物之全体”问题：所有非集合之全体是否集合？2.1.1集合的表示方法：1）直接(列举)描述法X＝{x1,x2,x3,……xn}X={x∣x具有某种特性}xi∈X;i=1,……,nx∈X例1:E={x∣x为自然数}当x=1.2时,x∈E例2:F={x∣x为自然数且1≤x≤10};F={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}当x=0时,x∈F2)图形法文氏图3)定义函数法:建立映射(map)χE→{0,1}定义函数2.1.2集合关系:整体和
3、部分：全集U、子集、空集φ、补集；χU＝1,χφ＝0一个集合至少包含两个子集，本身和空集包含：以来表示A包含B，若且；则A＝B2.1.3集合运算:和二值布尔代数相同，交、并、补三种基本运算构成交运算：符号∩；A∩B→χA∩B＝Min(χA,χB)＝٨(χA,χB)并运算:符号∪；A∪B→χA∪B＝Max(χA,χB)＝٧(χA,χB)补运算:符号c；Ac→χAc＝1-χA11研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem2.1.4集合运算的基本定律交换律：E∪
4、(F∪G)=(E∪F)∪G,E∩(F∩G)=(E∩F)∩G分配律：E∪(F∩G)=(E∪F)∩E∪G）,E∩(F∪G)=(E∩F)∪E∩G）吸收律：E∪E＝E，E∩E＝E排中律：E∪EC＝U矛盾律：E∩EC＝φ双重否定律：(EC)C=E摩根定理：(E∪F)C＝EC∩FC,(E∩F)C＝EC∪FCHomework(作业)2-1：试证明上述定律(可任用定义函数、文氏图、穷举等方法)例3：因为A∪B→χA∪B＝Max(χA,χB)；所以(E∪F)∪G→χ(E∪F)∪G＝Max{χE∪F,χG}＝Max{Max(χE,χF),χG}
5、＝Max{χE,χF,χG}＝Max{(χE,Max(χF,χG))=Max{χE,χF∪G}＝χE∪(F∪G)2.2模糊集合（FS）――经典集合（CS）的扩展经典集合只能进行“是（1）”与“非（0）”的表达，无法描述（归纳）诸如“较小的自然数”、“与北京和上海想当的大都市”、“年青人”、“温暖”等事物（集合）的分类概念。例4：若X＝{x∣x为北京那样的城市}则：香港∈X或香港x∈X无法认定的。例5：集合R＝{r∣r为半径接近10CM的圆}究竟包括了那些半径的圆？例6：集合S＝{N∣N为较小的自然数}处于数轴的什么地方？2.
6、2.1考虑到人们用这种不明确性（模糊性）的日常语言很好地表示了某种程度或相似（类似）的事物集合概念，为此定义这类集合为模糊集合（FS），并用下划线来区分与经典集合地差别。如FS：A；CS：A。对应经典集合的定义函数，用从属函数（MembershipFunction）μA(x)来表示事物（元素）x对特性（集合A）的接近/符合程度(从属度)。定义映射μA→[0,1]。μA(x)可取0到1间的数值，越接近1说明A对x的包含或x对A的从属程度越大；反之越接近0说明A对x的包含或x对A的从属程度越小。2.2.2模糊集合的表示方法1）从
7、属函数法：μA(x)分为离散和连续两种形式。例7：设论域为：X＝{x∣x为自然数且1≤x≤10}={1,2,…,10};取其模糊子集A＝{为较小的自然数}并令μA(0)＝μA(1)＝1；μA(2)＝0.9；xμA(xi)01.011.020.930.840.650.260.0↓↓100.0μA(3)＝0.8；μA(4)＝0.6；μA(5)＝0.2；μA(6)＝μA(7)＝……＝μA(10)＝0可写成：A＝1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.6/4+0.2/5(从属度为0者省略）；或A＝∑μA(xi)/xi（离散表达形
8、式）；这里运算符号“＋”为逻辑意义上“求和”；如：0.4/4+0.6/4=0.6/4例8：已知A的从属函数其中a和λ为常（参）数则：2）图表法：见右11研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem2.2.3模糊集合的运算类
