第一讲 数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限典型例题

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时间:2018-08-03

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1、第一讲数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义,有.注1的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有无限趋近于另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.注2 若存在,则对于每一个正数,总存在一正整数与之对应,但这种不是唯一的,若满足定义中的要求,则取,作为定义中的新的一个也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的.注3 的几何意义是:对的预先给定的任意邻域,在中至多除去有限项,其余的无穷多项将

2、全部进入.注4 ,有.2. 子列的定义在数列中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列,记为,其中表示在原数列中的项数,表示它在子列中的项数.注1对每一个,有.注2对任意两个正整数,如果,则.反之,若,则.注3,有.注4的任一子列收敛于.3.数列有界对数列,若,使得对,有,则称数列为有界数列.4.无穷大量对数列,如果,,有,则称为无穷大量,记作.22注1只是一个记号,不是确切的数.当为无穷大量时,数列是发散的,即不存在.注2若,则无界,反之不真.注3设与为同号无穷大量,则为无穷大量.注4

3、设为无穷大量,有界,则为无穷大量.注5设为无穷大量,对数列,若,使得对,有,则为无穷大量.特别的,若,则为无穷大量.5.无穷小量若,则称为无穷小量.注1若,有界,则.注2若,则;若,且使得对,,则.6.收敛数列的性质(1)若收敛,则必有界,反之不真.(2)若收敛,则极限必唯一.(3)若,,且,则,使得当时,有.注这条性质称为“保号性”,在理论分析论证中应用极普遍.(4)若,,且,使得当时,有,则.注这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.(5)若数列、皆收敛,则它们和、差、积、商所构成的数列,,,(

4、)也收敛,且有             ,22             ,            ().7.迫敛性(夹逼定理)若,使得当时,有,且,则.8.单调有界定理单调递增有上界数列必收敛,单调递减有下界数列必收敛.9.Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件是:,有.注 Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法,但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值.10.BolzanoWeierstrass定理有界数列必有收敛子列.11.12.几个重要不等式(

5、1)(2)算术-几何-调和平均不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立.(3)Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式22(4)Cauchy-Schwarz不等式: (),有      (5),13. O.Stolz公式二、典型例题1.用“”“”证明数列的极限.(必须掌握)例1 用定义证明下列各式:(1);(2)设,,则;(97,北大,10分)(3)证明:(1),欲使不等式       成立,只须,于是,,取,当时,有       

6、即.(2)由,,知,有,则于是,,有,即             .(3)已知,因为22,所以,,欲使不等式成立,只须.  于是,,取,当时,有      ,即        .评注1 本例中,我们均将做了适当的变形,使得,从而从解不等式中求出定义中的.将放大时要注意两点:①应满足当时,.这是因为要使,必须能够任意小;②不等式容易求解.评注2 用定义证明,对,只要找到一个自然数,使得当时,有即可.关键证明的存在性.评注3 在第二小题中,用到了数列极限定义的等价命题,即:(1),有(为任一正常数).(2),有

7、.例2 用定义证明下列各式:(1);(92,南开,10分)(2)证明:(1)(方法一)由于(),可令(),则22()当时,,有      即     .,欲使不等式成立,只须.于是,,取,当时,有,即        .(方法二)因为,所以,,欲使不等式成立,只须.于是,,取,当时,有,即        .(2)当时,由于,可记(),则()当时,,于是有22.,欲使不等式成立,只须.对,取,当时,有.当时,(),而.则由以上证明知,有,即,故.评注1 在本例中,,要从不等式中解得非常困难.根据的特征,利用二项

8、式定理展开较容易.要注意,在这两个小题中,一个是变量,一个是定值.评注2 从第一小题的方法二可看出算术-几何平均不等式的妙处.评注3 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法.例 用定义证明:()(山东大学)证明:当时,结论显然成立.当时,欲使成立,只须.于是,取,当时,有22即               .例 设,用“”语言,证明:.证明:当时,结论恒成立.当时,,欲使只须.于是,取,当时,有即         

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