信号分析与处理_第十三次课

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1、5.2.4功率谱密度函数功率谱密度函数简称为功率谱（PSD）它通过信号均方值的谱密度来描述随机信号的频率结构。随机信号的相关函数和功率谱在数学上是付氏变换对，两者都是描述随机信号的重要工具，只不过相关函数是在时域内，而功率谱是在频域内对信号的分析，二者所包含的信息是完全相同的。由于对系统的传递特性和运动状态环境模拟的研究都需要在频域内进行，因此，对随机信号进行频谱分析是十分重要的，它的研究工作有着极为重要的意义。近年来，在力学、电子学、声学、医学、地质、地震、军事领域中得到广泛的应用。例如：飞机、火

2、车、汽车、轮船的各种振动和噪声的研究，大型高速机械的应力分析，建筑结构受地震叠加脉冲波作用的分析，传递特性的分析和频率响应测量等等，都广泛应用谱密度分析。功率谱是通过均方值的谱密度来描述信号频率结构的一种方法。正如相关函数一样，是描述功率结构的一种方法。功率谱密度根据所用的变量也分为自谱和互谱两种。5.2.4.1自功率密度函数利用遍历过程的自相关函数，可以得到自功率谱的定义如下（5—19）反之有（5—20）上二式称为维纳-辛钦关系式，即遍历过程在时域的统计量可以通过付氏变换而转换成为频域中的统计量，

3、二者共同构成付氏变换对。自然产生的随机过程的样本函数，其时间历程是非周期的，因此不能用离散的傅立叶级数表。而且平稳过程而言，是无限的继续下去，不满足条件因此，除非采用特殊方法，否则就不能通过对的付氏变换得到关于随机过程的频率成分的信息，这个困难可以通过对该过程样本函数的自相关函数（而不是样本函数本身）做付氏分析解决得到。这个方法的根据是，自相关函数间间接地给出了包含在随机过程中的频率消息。是在（-,+）频率范围内的功率谱，它的谱图对称的分布在频率轴的两边，所以又称为双边谱。但在实际应用中，频率范围一

4、般都是在（0,）范围内，即频谱图是分布在频率轴的正方向上的单边谱。考虑到能量等效，在用单边功率谱来代替双边功率谱时，必须保持（5—21）图（5-9）给出了单边和双边谱的关系。为了说明的物理意义，在维纳-辛钦关系式中令，则有（5—22）假如把看成电工学中的电流，则有均方值就等于平均电功率，而相应的图（5-9）图（5-10）就表示平均功率按频率的分布密度。所以称为功率谱密度，而由与轴所包含的面积等于均方值，代表随机过程的平均功率，所以又称为均方谱密度。为了进一步说明功率谱密度的物理意义，在图（5-10）

5、上，于频率处截取频率间隔，则分布在频率间隔上的小面积为=　　小面积是整个面积的一部分，随机信号的均方值所代表的总面积，可视为各频率间隔所包含的小面积的总合。在实际测量中一般是用一只中心频率可调的窄通道滤波器对的磁带记录进行滤波，由此所得的信号只包含与一致的信号，然后对信号进行平方并取均值，见图（５－１1）。不断改变滤波器中心频率不断地按下式进行运算，即可得到功率谱的直方图。其运算关系为功率谱密度＝=（5—23）这种模拟方法的物理意义比较清楚，但工作量很大，故在近代工程应用中已多采用数字技术，特别具有

6、FFT程序的计算机来进行处理。图（５－１1）在工程实践中，常用一些频谱的主要成分集中于频率轴某一范围内的噪声信号，而在这个范围以外的信号频谱分量强度很小。信号频谱主要成分集中所在的频率范围用带宽来表示。假如信号谱密度如图（５－１2a）示，在频率轴上占据很窄的一段范围，就叫做“窄带”噪声。假如信号谱密度如图（５－１2b）示在频率轴上占据较宽的一段范围，就叫做“宽带”噪声，其时间历程是此频带内的每个频率成分相叠加的结果。窄带噪声的频率是固定的，而幅值是变化的；宽带噪声的频率和振幅都是变化的，而且不是重复

7、出现的。图（５－１2）如果谱密度的数值不变，且其频带从起延伸到，则称该频谱为“白频谱”，或白噪声频谱。白噪声的均方值必定是无限大的，而总功率无限大的信号实际上当然是不可能得到的，所以白噪声不仅仅是理想的概念。在实际应用中只需要使试验信号在所需的频率范围内具有一段平直的功率谱也就可以了。功率谱密度函数主要用来建立数据的频率结构，表示出信号在各个频率上的能量与幅值的大小。功率谱分析广泛应用于机械设备的强度、寿命与可靠性的研究中。当把谱分析用于机械或过程的故障诊断时，频谱时分析相当于给机械设备做一次“透视

8、”，从中可以了解机械设备各部分的运行情况。定期观察谱图的变化，并与正常情况下的基准谱图进行比较，就能及时预防故障的发生。谱分析还用于调查机电设备产生噪声的原因，测定大型结构物（包括高层建筑与大地等）的固有频率。近年来，谱分析技术亦用于语言分析，生物工程等领域中，功率谱密度还是研究物理系统动态特性的重要工具。设一个系统的频率响应函数为，假定其输入为一个功率谱密度为的平稳随机信号，则系统的输出也将是一个平稳的随机信号，其功率谱密度函数为（5—24）所以只要测得上式中的任意