上海市徐汇区2010学年第二学期高三数学区期末统测试卷(理科)

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1、2010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2011.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数的反函数。2、设集合，若，则。3、若事件与相互独立，且，则。4、系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是。5、在中，分别是角所对的边，且，则角的大小为。6、已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为。7、在的展开式中，的系数是15，则。8、一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球、2个红球，将它们充分混合后，

2、摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分，摸得一个红球记4分，用随机变量表示随机摸得一个球的得分，则随机变量的均值为。9、在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则________cm．10、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为。11、设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是。12、方程所表示的曲线与直线有交点，则实数的取值范围是。13、在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。已知，点为

3、直线上的动点，则8的最小值为。14、设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为。二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、极坐标方程表示的曲线是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线16、设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件17、函数的图象按向量平移后的函数解析式为。当函数为奇函数时，向量可以等于（）（A）（

4、B）（C）（D）18、设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②若则；③若则．其中正确的命题的个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19、（本题满分12分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分。关于的不等式的解集为。（1）求实数、的值；（2）若，，且为纯虚数，求的值。820、（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。（第20题）如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。（1）求异面直线与所成角的

5、大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求点到平面的距离。21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记。（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值。图2图1822、（本题满分16分

6、）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由。（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围。（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写

7、出具体作法。（不必证明）23、（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）试确定实数的值，使得数列为等差数列；（3）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。82010学年第二学期徐汇区高三年级数学学科流水号学习能力诊断（理科）答题卷2011.4题号一二1920212223总分满分56201214141618150得分请在各题目的答题区域内作答，超