因式分解——分组分解法

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1、北　京　四　中撰　稿：史卫红　　　编　审：谷　丹　　　责　编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。二、学习指导：　　如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化

2、为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y　　　　(2)a2-b2+4a-4b　　(3)4x2-9y2-24yz-16z2　　　(4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项

3、的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。解(一)2x2+2xy-3x-3y　　　　=(2x2+2xy)-(3x+3y)　　　　=2x(x+y)-3(x+y)　　　　=(x+y)(2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y　　　　=(2x2-3x)+(2xy-3y)　　　　=x(2x-3)+y(2x-3)　　　　=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。这也是

4、分组中必须遵循的规律之一。(2)分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。解：a2-b2+4a-4b　　　=(a2-b2)+(4a-4b)　　　=(a+b)(a-b)+4(a-b)　　　=(a-b)(a+b+4)(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方

5、公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解：4x2-9y2-24yz-16z2　　　=4x2-(9y2+24yz+16z2)　　　=(2x)2-(3y+4z)2　　　=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。法（一）x3-x2-x+1　　　　　=(x3-x2)-(x-1)　　　　　=x2(x-1)-(x-1)　　　　　=(x-1)(x2-1)　　　　　=(x-1)(x+1)(x-1)　　　　　=(x+1)(x-1)2法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)　　　　　　　　=x(x2-1)

6、-(x2-1)　　　　　　　　=(x2-1)(x-1)　　　　　　　　=(x+1)(x-1)(x-1)　　　　　　　　=(x+1)(x-1)2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例1（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例1的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中

7、进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例1中的（3）题。例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn+n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。解：m2+n2-2mn+n-m　　　=(m2-2mn+n2)-(m-n)　　　=(m-n)2-(m-n)　　　=(m-n)(m-n-1)例3．分解因式:(1)x2-y2-z2-2yz+1-2x　(2)x2-6xy+9y2-10x