函数零点问题的求解策略

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1、函数零点问题的求解策略广东省普宁第二中学（515300）邱海泉摘要：本文探讨了：①利用函数的零点存在性定理研究函数在某区间上零点的存在性;②巧用函数与方程思想，构造函数，数形结合，求解函数零点的个数;③巧用函数的性质，求函数的零点。通过渗透数学思想方法，优化学生的思维策略，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。关键词：函数零点求解策略函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义：“对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点，这样函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，所以方程有实根函数的图象与X轴有

2、交点函数有零点”（必修1.P95.人教版）对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程有实根函数的图象与X轴有交点函数有零点”题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：一、函数零点的存在性定理指出：“如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间（a,b）内有零点，即存在,使得,这个c也是方程的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例1、函数的零点所在的大致区间是

3、（）（A）（0，1）；　　（B）（1，2）；　（C）　（2，e）；　（D）（3，4）。分析：显然函数在区间[1,2]上是连续函数，且,，所以由根的存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是（1，2），选B4例2.函数在下列区间是否存在零点？（）（A）（-3，-1）；　　（B）（-1，2）；　（C）　（2，3）；　（D）（3，4）。分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数在所给出的四个区间中都不满足条件，但由函数的图象可知它一定有零点。仅当函数在区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。二、求解有关函数

4、零点的个数（或方程根的个数）问题。函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：例3.求零点的个数。XYO分析：本题直接求解，无法下手，由函数的零点也是方程的根，即方程的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数、,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所

5、以零点的个数有三个。2对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。如：例4.函数零点的个数为分析：，令,得列出x,y/,y的对应值表如下：x1(1,3)3+0-0+4y增函数减函数增函数-10YO13作出函数的草图可知，函数的图象与X轴仅有一个交点，则仅有一个零点。注意：本类型题的特点是找出函数的图象与X轴交点，实质上仍是求函数与函数交点的情况。若把换成，相当在原题中引入参数a，得出一般情况下的解法，如：例5、（例4变式题）试讨论函数()零点的个数。分析：方法1：直接模仿例4的解法，可

6、得如下表格:x1(1,3)3+0-0+y增函数减函数增函数然后再结合函数的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：当即时有一个交点；当即时有两个交点；当且即时有三个交点；当即时有两个交点；当即时有一个交点.-10YO13方法2：通过构造函数与转化求解，利用例4的方法可得到函数的图象，讨论两个函数图象的位置关系，可得出结论：当仅有一个零点；当有二个零点；当有三个零点；4当时有二个零点；当仅有一个零点。例6、已知，函数在区间（0，3）内零点的个数为　　。分析：本题利用导数法可得

7、出在区间（0，3）上是单调递减函数，且,，由函数的图象可知仅有一个零点。三．求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：例7、求函数的零点。分析：考察的特点，直接求解难以入手，可转化为求的解，根据式子特点构造函数，显然为奇函数，且在R上单调递增，由可化为，故利用函数的性质可得，则，所以函数的零点为综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。4