圆锥曲线(椭圆)推论及证明

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1、圆锥曲线（椭圆）推论及证明引言圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。而在江苏的试题中它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论，最后一问将这个结论推广到给定条件下的任意情况，而这类题目中曲线又多是椭圆。这次我们就来总结椭圆的一些特性。1ABC我们都学过在圆上过圆心的直线AB交圆的两点A、B及圆上另一与A、B不重合的点C形成的三角形为直角三角形，其中∠ACB=90°（图1）。放在坐标系中则得=-1。那么是否在椭圆中过椭圆中

2、心的直线AB与椭圆交于A、B两点（图2），其中为定值？圆椭圆投影变换由投影变换（图3）我们可以预测这种关系。下面我们来证明其正确性：ACB证：设A（x,y）,B（-x,-y）,C（m,n）证毕小结：这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论DA例如右图所示，图中AC与AB斜率积为定值，CD与AB斜率积也为定值，那么AC与CD斜率的商就可以求出是定值CB2而若AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为ABABMO的中点，则，即。证：设A，B，则M为设AB为，椭圆方程为两式联立得根据韦达定理得所以证

3、毕小结：这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立，运用韦达定理求出并通过完全平方公式的互化求解3T椭圆上点P处的切线PT平分在点P处的外角。P证：设椭圆,F1(-c,0),F2(c,0),P，F2F1PF1斜率为，PT斜率为，PF2斜率为由题即证PT平分PF1、PF2即证PT为同理：证毕小结：这个结论主要是通过椭圆上的点的切线方程（）入手，表示出切线的斜率，再通过倒角公式（）将三者间的斜率两两对应求解4设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ

4、分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。AMNFQP证：设P，Q，PQ为，椭圆为由韦达定理可知证毕小结：这个推论也在题目中出现过，只是给了我们具体的数来计算，但思路不变。抓住斜率与点的关系，设出点的坐标和直线方程，结合韦达定理代入计算5椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为PF1F2证：设F1，F2，则由余弦定理可知证毕小结：这也是一个典型的结论，对于做题，尤其是填空题有很大帮助。总结以上总结均出自我们遇过的题目或是老师讲解过的题

5、型，但是我们通过独立的证明将其推向了整个椭圆的题目。在此我们总结的不过是冰山一角，但也是较为典型的。圆锥曲线的题目多如牛毛，但抓住直线与椭圆方程的关系，运用韦达定理求解（如果知道这样的结论便于解题的思路拓展），那么细心计算，终会把正确结果算出来的。而题目大致可总结为以下两种模型：一是两焦点与椭圆上的一点的关系的模型（斜率、线段长之和等），二是关于原点对称的两点与任意一点的关系模型。解题时从这些模型入手，会看清题目的思路，比如看到椭圆上的两点与原点的关系就能迅速想到“点差法”。椭圆还有许多定理等着我们

6、去了解，比如Pappus定理（如图中六条直线的三个交点共线）或是Pascal定理（如果一个六边形内接于椭圆，那么它的三对对边的交点在同一条直线上），以及Brianchon定理（圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点）等定理。而这些就涉及到了射影几何，在此仅是提及，不去深究。有的同学若是有兴趣何以去思考一下。总之作为一名学生，一个求知者，我们还需要不断探索，学无尽，知无涯。