网络几何(陈省身)

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1、第卷第理期数学进展年。月,①网络几何陈省身引言己,,。曹发表过两篇关于平移曲面的文章〔〕属于他的少数著名文章之列下面,,是。我想说明他所讨论的这个问题一个吸引人的值得进一步研究的课题。关于双重平移曲面的定理及其发展“中的平移曲面由下列参数方程组定义戈二“盈公几《二“,了孟三。,“”这里为中的坐标与为任意光滑函数立即可以看出曲线曲线的切口。,二。线与无关而且在无穷远平面上定义了一条曲线,若平移曲面还有第二个表达式即也可由方程组玉几几鑫几人无,给出使得方程组之孟一一‘几凡,。,中恰有两个是独立的则称为双重平移曲面年证明了下述著名定

2、理〔〕,如果是砂中的双重平移曲面则在无穷远平面上由四簇参数曲线的切线定义的四条。,,,,,,曲线属于同一条四次代数曲线,。这个定理表明在一个曲面上泛函方程组的解可以由一种代数构造产生出来。,的证明利用了超定偏微分方程组的可积性条件事实上从我们有之百云而。,。这表明两簇参数曲线构成一个共扼网亦即它们在各点的切线方向把渐近方向调和地分开若曲面用非参数形式给出君,夕,则相应的条件由下述方程表示盖‘五,。“从“,,‘索,①年月日收到原题译自“‘矛已夕,。正,‘协石,浮旅‘碑夕一,一邸年“网络几何”,月陈省身教探曾在北大作过的精采报告其

3、内容基本上取材于这篇文章译庄—数学进展第卷,口,,玄共中名,含,,公公,“之,,么含,,,,对于双重平移曲面除了满足外还要满足另一个方程,,叮产,叮,,尹尹,二研究方程组和的可积性条件会遇到一些冗长而乏味的计算特别是要处理的。,四阶偏导数这个工作是一项具正的力气活儿译注但是达到了。—他的目标,很快认识到的工作的重要性而且他还敏锐地看出的工作与函。,,,,数之间的联系在〔习中他对的定理给出了两个证明但不是基于偏微分方程。,而是根据玩函数和代数几何①尽管这些证明也许不够完善但是‘却引进了。,一些有创见的想法和新的观点作为己工作的一

4、个推论双重平移曲面可以通过使。,函数等于零来定义因此曲面一,泣,,,就是一双重平移曲面这里为常数利用留数理论对的定理给,出了最好的证明,。。应当注意研究平移曲面是通过他关于极小曲面的工作而开始的鳍已经知,,。道解析极小曲面就是一张平移曲面其参数曲线为极小曲线或迷向曲线’’继续研究了高维的情形中的平移流形是由参数方程组‘‘久”‘艺‘‘,“争‘,’定义的超曲面上式中为中的坐标了为各个变元的光滑函数曹试图决定所,。,有的双重平移超曲面而且在一篇长文中解决了的情形在同一篇文章中他说过。,要回到一般的情形他的遗作中有几篇关于这一问题的文

5、章但井没有获得命人满意的结论也曹考虑过高维的情形。是在年应用射影簇的周炜良坐标今。,才完全解决了这个问题下面我们将说明网络几何为使这个课题能够充分展开提供了。广阔的场所,。泛面方程组蕴含一个代数结构这是一个强有力的结论年利用这个,,结论给出了定理的一个新证明该定理说紧致面由它的周期或者更,精确地说由它的极化簇所决定至多可能相差一同构亡的括“,①对足感到不悦他说这位作者指的在其它领域内的成就投有任何人比我更了,。我只能说,,解遗憾的是他却没有能理解我的研究工作他关于平移曲面及平移流形的工作中所论述的结论完全是找的一般”,,五,,

6、了定理的特殊情形耳原注—期陈省身网络几何一的网络几何网络几何是一年在意大利海,滨初露头角的那时与,认识到由曲线构成的平面三叶。,状构形具有局部不变量在这种情形出色的几何图形是六边形图。对于任一点以及过的第一条曲线上任何邻近,当,的点所有这样的六边形都封闭时这种网络称为六边形网络。曹证明六边形网络局部同胚于三簇平行线。这个课题与代数几何的关系是显然。的在与开始搞他们,的网络几何工作之前与在,年曹证明了一个定理用网络几何的,。语言可以表述如下若六边形网络的曲线均为直线则必为同一条三次代数曲线的切线,一。一般而言平面上的己网络定义为

7、该平面的一个邻域中由曲线构成的个叶状构形,。,,一使得通过每一点这个叶的切线彼此不同若为平面上的坐标网络可以由。,梦二。该《,,,牛的定义我们将假定函数力是光滑的井且满足条件形如,,‘二”艺‘沙“,,“的方程哄做方程线性无关的方程的最大个数称为该网络的秩记为可以证明二、一,,一,合,。,“,容易看到二时秩为的网络恰为六边形网络对于我们有镇而且秩为的一人网络满足三个线性无关的方程。。二几习幸〔若合二,,一‘·,,一‘‘一‘“一,‘一“镇“毛,“,丁一尹一夕“。一就得到中的双重平移曲面的定理可以解释为秩为的网络局部等价于一个由直线

8、构成的网络因而后者必为一条四次代数曲线的切线一一一深刻的‘题乃是是否有最大秩的任何网络皆局部等价于其叶状物一,,皆为直线的网络曹给出过秩为的网络的例子说明情况井不尽然的例子是数学进展第卷。由无兰个顶点共线的四个线束以及第五组是过四个顶点的二次曲线所构成的六个方,五二函数程中有